Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un élément de $I.$
Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives 4 et $3\mathrm{i}.$ L'affixe du point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit isocèle avec $(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{2}$ est :
$7+4\mathrm{i}$
$1-4\mathrm{i}$
$-3\mathrm{i}$
On considère trois suites $(u_{n})\;,\ (v_{n})$ et $(w_{n})$ ayant, pour tout entier naturel $n$, les propriétés suivantes : $$u_{n}\leq v_{n}\leq w_{n}\;,\ \lim_{n\rightarrow +\infty}(u_{n})=-1\ \text{ et }\ \lim_{n\rightarrow +\infty}(w_{n})=1$$ Alors :
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(v_{n})=0$
la suite $(v_{n})$ est minorée
pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, on a : $-1\leq v_{n}\leq 1$
on ne sait pas dire si la suite $(v_{n})$ a une limite ou non
Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. On tire une boule dans l'urne, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants. Alors, la probabilité d'obtenir 5 fois une boule noire est :
$\left(\dfrac{1}{5}\right)^{5}$
$\left(\dfrac{3}{8}\right)^{3}\times\left(\dfrac{3}{8}\right)^{3}$
$\left(\dfrac{3}{8}\right)^{5}$
$\ln(\sqrt{\mathrm{e}^{7}})+\dfrac{\ln(\mathrm{e}^{9})}{\ln(\mathrm{e}^{2})}=\dfrac{\mathrm{e}^{\ln 2+\ln 3}}{\mathrm{e}^{\ln 3-\ln 4}}$
Soit la suite $(u_{n})$ définie par $$u_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n}}$$ Alors, on a :
$(u_{n})$ est strictement décroissante
$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty$
$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=2$
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2}).$ Soient $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ les points d'affixes respectives 1, $\mathrm{i}\;,\ -1$ et $-\mathrm{i}.$ Alors, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z+\mathrm{i}}{z+1}$ soit un imaginaire pur est :
le cercle de diamètre $[BD]$ privé du point $C$
le cercle de diamètre $[CD]$ privé du point $C$
la droite $(CD)$ privée du point $C$
la médiatrice du segment $[AB]$
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2}).$ Alors, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-1+\mathrm{i}|=|\sqrt{3}-\mathrm{i}|$ a pour équation :
$y=x+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$
$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=4$
$(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2$
$(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=2$
Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ par $u_{n}=(-1)^{n}.$ Alors, la suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge.
Soit $z=3+\mathrm{i}\sqrt{3}$, alors pour tout entier naturel $n$ non nul, $z^{3n}$ est imaginaire pur.
