On considère deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies sur $\mathbb{N}.$ Si $\lim u_{n}=+\infty$ et $\lim v_{n}=-\infty$, alors $\lim(u_{n}+v_{n})=0.$
Une suite $(u_{n})$ est définie sur $\mathbb{N}$ par : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} u_{0}&=&1.5\\ u_{n+1}&=&2u_{n}-1\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{array}\right.$$
$(u_{n})$ converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équations $y=x$ et $y=2x-1$
la suite $(v_{n})$, définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n}=u_{n}-1$, est géométrique
la suite $(v_{n})$ est majorée
la suite $(w_{n})$, définie sur $\mathbb{N}$ par $w_{n}=\ln(u_{n}-1)$, est arithmétique
Dans une classe, les garçons représentent le quart de l'effectif. Une fille sur trois a eu son BFEM du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l'a eu du premier coup. On interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur BFEM du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à :
0.111
0.25
0.091
0.100
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ Soit $f$ une fonction dérivable sur $[-3\;,\ 1]$ telle que $f(0)=-1.$ Soit $f'$ sa fonction dérivée de courbe représentative $\mathcal{C}'$ ci-dessous.
Alors, $f$ est croissante sur $[-2\;,\ 1]$
Soit $\Omega$ le point d'affixe $1-\mathrm{i}.$ L'ensemble des points $M$ d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$ vérifiant $|z-1+\mathrm{i}|=|3-4\mathrm{i}|$ a pour équation :
$z=1-\mathrm{i}+5\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $\theta$ réel
$y=-x+1$
$(x-1)^{2}+y^{2}=\sqrt{5}$
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2}).$ Soient $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ les points d'affixes respectives 1, $\mathrm{i}\;,\ -1$ et $-\mathrm{i}.$ Alors, l'image $E$ de $D$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ a pour affixe :
$z=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(1-\mathrm{i})$
$z=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}(1+\mathrm{i})$
$z=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(1+\mathrm{i})$
$z=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}(1-\mathrm{i})$
Soit $(z_{n})$ la suite de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par $z_{0}=1+\mathrm{i}$ et $z_{n+1}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{2}z_{n}.$ Soit $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$, alors :
pour tout entier naturel $n$, un argument de $\dfrac{z_{n+1}-z_{n}}{z_{n}}$ est $\dfrac{\pi}{2}$
la suite $(u_{n})$ définie par $u_{n}=|z_{n}|$ est convergente
pour tout entier naturel $n$, le point $M_{n}$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{2}$
pour tout entier naturel $n$, le triangle $OM_{n}M_{n+1}$ est équilatéral
Pour tout entier naturel $n$ on a : $$(1+\mathrm{i})^{4n}=(-4)^{n}$$
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2}).$ Soit $(F)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $$|z-1|=|z-\mathrm{i}|\quad\text{et}\quad|z-3-2\mathrm{i}|\leq 2$$
Si $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sin^{2}x$, alors sa fonction dérivée vérifie $f'(x)=\sin 2x$
