BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2003

Soient A, B deux points distincts fixés d'un cercle $\mathcal{C}$ de centre I et $M$ un point quelconque de ce cercle $\mathcal{C}$.

Le point $D$ est défini par $\overrightarrow{\text{IA}}+ \overrightarrow{\text{IB}}+\overrightarrow{\text{I}M} = \overrightarrow{\text{I}D}$.

Prouver que les produits scalaires $\overrightarrow{\text{A}D} \cdot \overrightarrow{\text{B}M}$ et $\overrightarrow{\text{B}D} \cdot \overrightarrow{\text{A}M}$ sont nuls.
En déduire à quelles droites particulières du triangle AB$M$ le point $D$
appartient puis préciser la nature du point $D$ pour le triangle A$M$B.
Soit $G$ l'isobarycentre des points A, B, $M$.
Exprimer $\overrightarrow{\text{I}D}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{I}G}$.

Dans le plan complexe, rapporté à un repère otthonormal direct
\Oij, on donne les points A, B, I d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2,~z_{\text{B}}= 4 + 2 \text{i}$ et $z_{\text{I}}= 4$. On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $Z$ tel que $Z= \dfrac{1}{3}z + 2 + \dfrac{2}{3}\text{i}$.

Montrer qu'il existe un unique point $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$ et calculer l'affixe $\omega$ de ce point.
Pour tout point d'affixe $z$, exprimer alors $Z - \omega$ en fonction de $z - \omega$.
Préciser la nature de l'application $f$.
$M$ étant un point quelconque d'affixe $z_{M}$, montrer que l'image par l'application $f$ du point $M$ est l'isobarycentre $G$ d'affixe $z_{G}$ des points A, B, $M$.
Déterminer l'ensemble des points $G$ lorsque le point $M$ décrit le cercle
$\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 2.
En déduire alors, à l'aide du résultat de la question 1. b., l'ensemble
décrit par le point $D$ défini par $\overrightarrow{\text{I}D} = \overrightarrow{\text{IA}}+ \overrightarrow{\text{IB}}+\overrightarrow{\text{I}M}$ lorsque le point $M$ parcourt le cercle $\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 2.