On considère deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies sur $\mathbb{N}.$
Soit $z$ le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ et d'argument $\dfrac{\pi}{3}.$ On a alors :
$z^{14}=-128\sqrt{3}-128\mathrm{i}$
$z^{14}=-64+64\mathrm{i}$
$z^{14}=-128+128\mathrm{i}\sqrt{3}$
$z^{14}=64-64\mathrm{i}$
Une urne contient une boule blanche et deux boules noires indiscernables au toucher. On effectue 10 tirages successifs d'une boule avec remise. La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est $3\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{7}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}$
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ Soit $f$ une fonction dérivable sur $[-3\;,\ 1]$ telle que $f(0)=-1.$ Soit $f'$ sa fonction dérivée de courbe représentative $\mathcal{C}'$ ci-dessous.
Alors, pour tout réel $x\in\;[-3\;,\ 1]$ on a $f(x)\geq -1$
Soit dans $\mathbb{C}$, l'équation $z+|z|^{2}=7+\mathrm{i}.$ Alors cette équation admet :
une solution réelle
une solution qui a pour partie imaginaire 2
deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1
deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1
Soit $z$ un nombre complexe.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2}).$ Soient $A\;,\ B$ et $C$ les points d'affixes respectives $-1-\mathrm{i}\;,\ 2-2\mathrm{i}$ et $1+5\mathrm{i}.$ On pose $z=\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}$, alors :
le point $M$ d'affixe $z$ appartient à la médiatrice du segment $[BC]$
le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
$z$ est un nombre réel
le triangle $ABC$ est isocèle en $A$
Soit $\mathrm{j}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$, alors on a : $$1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}=0$$
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{1}{2}\;;\ +\infty\right[$ par $$f(x)=2x\ln(2x+1)$$
Le nombre complexe $z=(\sqrt{3}+\mathrm{i})^{1515}$ est un réel.
