Devoir n°8 - Ts2

 

Les élèves de Sankoré (*) décident de choisir au hasard un président du foyer, son adjoint et un trésorier. 

 

Parmi les candidats, se trouvent 7 filles, dont 4 en terminale, et 8 garçons, dont 5 en terminale. 

 

Calculer la probabilité des événements suivants :

 

$A\ :$ "les trois personnes choisies sont des filles"

 

$B\ :$ "les trois personnes choisies sont en terminale"

 

$C\ :$ "le président est un garçon"

 

$D\ :$ "le président et le trésorier sont de sexes différents"

 

$E\ :$ "parmi les trois, se trouvent une seule fille et un seul élève de terminale".

On considère le nombre complexe $Z$ défini par : 

 

$Z=\dfrac{z-2+\mathrm{i}}{z+1+2\mathrm{i}}$ et le point $A$ d'affixe $z_{A}=-1-2\mathrm{i}.$

 

1) Trouver l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que :

 

a) $Z$ soit un réel

 

b) $Z$ soit un réel positif

 

c) $Z$ soit un imaginaire pur

 

d) Représenter ces trois ensembles dans un même repère.

 

2) Trouver l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que :

a) $|Z|=1$

 

b) $|Z|=4$

 

3) Calculer $|1+\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta|.$ 

 

Discuter suivant les valeurs de $\theta\in\;[0\;;\ 2\pi[.$

A. On considère la fonction $g$ définie par : 

 

$g(x)=1-\dfrac{1}{x}+\ln x.$

 

1) Étudier les variations de $g$ puis dresser son tableau de variation.

 

2) Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x.$

 

B. On considère la fonction $f$ définie par : 

$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&\mathrm{e}^{x-1}-1&\text{si } x<1\\ f(x)&=&(x-1)\ln x&\text{si }x\geq 1 \end{array}\right.$$

 

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en 1.

 

2) a) Calculer la dérivée de $f$ pour $x<1$, puis en déduire le signe de $f'(x)$ sur $]-\infty\;;\ 1[.$

 

b) Montrer que sur $]1\;;\ +\infty[\;,\ f'(x)=g(x)$ puis déduire de a question (2-A) le signe de $f'(x)\text{ sur }]1\;;\ +\infty[.$

 

c) Calculer $\lim_{\;x\rightarrow -\infty}f\;,\ \lim_{\;x\rightarrow +\infty}f$ puis dresser le tableau de variation de $f.$

 

3) a) Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote horizontale.

 

b) Calculer $\lim_{\;x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

 

Qu'en déduire ?

 

c) Démontrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un ensemble à déterminer.

 

4) Représenter $\mathcal{C}_{f}\ $ et $\ \mathcal{C}_{f}^{-1}$ dans un même repère.

 

5) a) Calculer $f^{-1}(0).$ Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en 0 , calculer $(f^{-1})'(0)$ et donner une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}^{-1}$  au point d'abscisse 0.

$$\text{Durée : 3h}$$