Devoir n° 27 1er S1 S2

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soient les fonctions f, g, h et k définies par :
 
f(x)=x2(cos1x2) ;
 
g(x)=x2xsinxx+sinx ;
 
h(x)=12cosx12sinx
 
et k(x)=tanx12cosx2.
 
Calculer les limites :
 
a) de f en + et en 0. 
 
b) de g en + et en 0. 
 
c) de h et k en π4(on posera x=u+π4).

Exercice 2

1) La fonction f définie par f(x)=1xx a-t-elle un prolongement par continuité en 0 ? Si oui, définir celui-ci.
 
2) Calculer les limites de ce prolongement par continuité aux bornes de son ensemble de définition.

Exercice 3

Soit les fonctions A et B définies par :
 
A(x)=(x1)(1+1x1+1(x1)2) et
 
B(x)=1(x1)2ax(x21)2(aR).
 
1) Calculer les limites de A(x) lorsque x tend vers 1, puis lorsque x tend vers .
 
2) Calculer les limites de B(x) en + et en 1 (on distinguera les cas : a<4; a=4; a>4).

Exercice 4

Soit la fonction f définie par : f(x)=x2+2x3(x1).
 
1) Calculer les limites de f en  et en +.
 
2) Calculer les limites suivantes : 
 
limx1f(x)x1; limx+f(x)x1

Exercice 5

Soit la fonction f définie sur R par : 
 
f(x)=|x2+x+1||x1|.
 
1) Montrer que f=v(hvg) avec v : x|x|; g : xx1; h : xx2+x+1
 
2) En utilisant les théorèmes généraux sur les fonctions continues, montrer que f est continue sur R.
 
3) Calculer, si elles existent , les limites suivantes :
 
limx+f(x)x; limx0f(x)x; limxf(x)x

                                                                                         Durée 3h
 

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