Devoir n° 27 1er S1 S2
Classe:
Première
Exercice 1
Soient les fonctions f, g, h et k définies par :
f(x)=x2(cos1x−2) ;
g(x)=x2−xsinxx+sinx ;
h(x)=1−√2cosx1−√2sinx
et k(x)=tanx−12cosx−√2.
Calculer les limites :
a) de f en +∞ et en 0.
b) de g en +∞ et en 0.
c) de h et k en π4(on posera x=u+π4).
Exercice 2
1) La fonction f définie par f(x)=√1−xx a-t-elle un prolongement par continuité en 0 ? Si oui, définir celui-ci.
2) Calculer les limites de ce prolongement par continuité aux bornes de son ensemble de définition.
Exercice 3
Soit les fonctions A et B définies par :
A(x)=(x−1)(1+1x−1+1(x−1)2) et
B(x)=1(x−1)2−ax(x2−1)2(a∈R).
1) Calculer les limites de A(x) lorsque x tend vers 1, puis lorsque x tend vers −∞.
2) Calculer les limites de B(x) en +∞ et en 1 (on distinguera les cas : a<4; a=4; a>4).
Exercice 4
Soit la fonction f définie par : f(x)=√x2+2x−3−(x−1).
1) Calculer les limites de f en −∞ et en +∞.
2) Calculer les limites suivantes :
limx→1f(x)x−1; limx→+∞f(x)x−1
Exercice 5
Soit la fonction f définie sur R par :
f(x)=|x2+x+1|−|x−1|.
1) Montrer que f=v∘(h−v∘g) avec v : x↦|x|; g : x↦x−1; h : x↦x2+x+1
2) En utilisant les théorèmes généraux sur les fonctions continues, montrer que f est continue sur R.
3) Calculer, si elles existent , les limites suivantes :
limx→+∞f(x)x; limx→0f(x)x; limx→−∞f(x)x
Durée 3h
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