Devoir n° 31 1e S

Classe: 
Première

Exercice 1 

1) Calculer les fonctions dérivées de :
 
f : x(3x+2)2(x4)3
 
g : x(2x+3)2x25
 
h : x(4x21)4x21
 
On précisera l'ensemble de dérivabilité de chaque fonction.
 
2) Soient les fonctions f, g et h définies par :
f(x)=2x1x+1; g(x)=x+|x|; h(x)=(fg)(x)
 
Donner les ensembles de dérivabilité de f, g et h , puis calculer leurs fonctions dérivées.

Exercice 2

1) Déterminer a et b pour que la fonction f définie par :
{f(x)=ax+bsi x3f(x)=2x+33x3si >3
 
soit continue et dérivable en x0=3.
 
2) Déterminer m pour que la fonction g définie par :
{si x0,g(x)=x3+x2+(m22)x+2si x>0,g(x)=x+2mx+1
 
soit dérivable sur R.

Exercice 3

1) f et g sont des fonctions dérivables sur un intervalle I de R et on suppose que g(x)0, pour tout x réel. 
 
Soit h la fonction définie par : h(x)=f(x)g(x).
 
Montrer que si h(a)=0 et g(a)0, alors h(a)=f(a)g(a)
 
2) Application :
 
On prend h(x)=23x2+1x21.
 
a) Calculer h(x) et vérifier que h(x) s'annule en trois points a, b et c.
 
b) Utiliser les résultats précédents pour calculer le plus simplement possible h(a), h(b) et h(c).

Exercice 4

Soit P(x) un polynôme et a un réel.
 
1) Montrer que si P(x) est divisible par (xa)2, alors P(x) est divisible par (xa)
 
Écrire P(x) sous la forme P(x)=(xa)2Q(x).
 
2) Montrer que si P(x) et P(x) sont divisibles par (xa), alors P(x) est divisible par (xa)2.
 
En déduire l'équivalence :
 
P(x) est divisible par (xa)2P(x) et P(x) sont divisibles par (xa).
 
3) Application :
 
A1 : Montrer que P1(x)=x42x37x2+20x+12 est factorisable par (x2)2.
 
Calculer le quotient.
 
A2 : Soit n un entier naturel non nul.
 
Montrer que le polynôme P2(x)=nxn+1(n+1)xn+1 est factorisable par (x1)2. Calculer le quotient lorsque n=4.
 

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