BAC S SPECIALITE La Réunion juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} ; unité graphique: 8~centimètres.
 
On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$  telle que

\[z' = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})z.\]

 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$.
 On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante :  $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.
    
         Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n,~z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$
         Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$.
    
 Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative meme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. À quelle condition sur $n$ et $p$ les points $M_{n}$ et $M_{p}$ sont-ils alignés avec l'origine O du repère ?

   fin La Réunion juin 2011

 Centres étrangers juin 2011  
Etrangers_juin2011

Centres étrangers juin 2011

Les cinq questions sont indépendantes.
 Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
 Toute justification complète sera valorisée.}
 
{Question 1}

On considère l'équation  (E) :\quad  $2x+ 11y = 7$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
 
Affirmation}

Les seuls couples solutions de  (E) sont les  couples $(22k - 2~;~- 4k+ 1)$, avec $k$ appartenant à  l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs.
 
{Question 2}
 
On considère l'entier $N = 11^{\np{2011}}$.
 
Affirmation}

L'entier $N$ est congru à  4 modulo 7.
 
{Question 3}
 
On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d'affixes respectives :

\[ a = 1 + \text{i}\quad ; \quad b = 3\text{i}\quad ; \quad     c = \left(1 - 2\sqrt{2}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{2}\right).\]
 
Affirmation}
 
Le point C est l'image du point B par la  similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et  d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.

{Question 4}

On considère, dans le plan complexe, les points A et B d'affixes respectives :

\[a = 1 + \text{i}\quad;\quad b = 2 - \text{i}.\]

Soit $f$ la similitude d'écriture complexe : $z' = \left(- \dfrac{3}{5}- \dfrac{4}{5}\text{i} \right)\overline{z} +  \left(\dfrac{12}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i} \right)$.
 
Affirmation}

La transformation $f$ est la réflexion d'axe (AB).

 {Question 5}

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

On considère la surface $\mathcal{S}$ dont une équation est : $z = 4x y$.
 
Affirmation}

La section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $z = 0$ est la réunion de deux droites orthogonales.