BAC S SPECIALITE Pondichéry avril 2011
Partie A
On considère, dans un repère (O ; →i ; →j; →k) de l'espace, la surface S d'équation :
z=(x−y)2.
On note E1 l'intersection de S avec le plan P1 d'équation z=0.
Déterminer la nature de E1.
On note E2 l'intersection de S avec le plan P2 d'équation x=1.
Déterminer la nature de E2.
Partie B
On considère, dans un repère (O ; →i ; →j; →k) de l'espace, la surface S′ d'équation :
z=xy.
On note E3 l'intersection de S′ avec le plan P1 d'équation z=0.
Déterminer la nature de E3
On note E4 l'intersection de S′ avec le plan P3 d'équation z=1.
Déterminer la nature de E4.
Partie C
On note E5 l'intersection de S et de S′.
Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à E5 dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0~;~0~;~0).
On suppose qu'il existe un point M appartenant à E5 et dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.
Montrer que si x=0, alors le point M est le point O.
On suppose dorénavant que l'entier x n'est pas nul.
Montrer que les entiers x,y et z vérifient x2−3xy+y2=0.
En déduire qu'il existe alors des entiers naturels x′ et y′ premiers entre eux tels que x′2−3x′y′+y′2=0.
Montrer que x′ divise y′2, puis que x′ divise y′.
Établir que y′ vérifie la relation 1−3y′+y′2=0.
Conclure.
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