Le cosinus d'un angle aigu-4e
Classe:
Quatrième
I. Définition
Étant donné un angle aigu , de mesure α.α.
Par un point AA de [Ox)[Ox), on mène la perpendiculaire au côté [Oy)[Oy) de l'angle.
Cette perpendiculaire coupe [Oy) en H.[Oy) en H.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig_c69.jpg)
On appelle cosinus de l'angle ^xOyˆxOy, noté cos^xOycosˆxOy ou cosαcosα , le quotient OHOAOHOA
cos^xOy=OHOA
Ce quotient ne dépend pas de la position du point A (même si A est sur le côté [Oy) et H sur [Ox).)
Remarque :
cosα<1
car OH<OA (OH) est la plus courte distance de O à (AH)
II. Utilisation de la calculatrice
Lecture d'un cosinus :
La valeur d'un cosinus est indiquée par la fonction cos
Exemple :
La calculatrice étant en mode « degré »,
50 cos ou cos 50 indique :
0.64278761 qui est une valeur approchée de ce cosinus.
En général, la valeur utilisée est donnée avec trois chiffres après la virgule, soit, pour cet exemple :
cos50∘≈0.643
Recherche d'un angle dont on connaît le cosinus :
La valeur de l'angle est indiquée par la fonction
cos−1 ou INV cos ou 2nd cos
Exemple :
La calculatrice étant en mode « degré »,
On donne cosα=37 les manipulations indiquées ci-dessus (différentes selon le modèle de calculatrice) donnent l'indication : 64.62306647
On obtient donc : α≈64.6∘
Remarques :
cos0∘=1 C'est le cas où : OH=OA (A et H étant confondus)
cos90∘=0 C'est le cas où : OH=0 (H et O étant confondus)
III. Cosinus d'un angle du triangle rectangle
En considérant le triangle rectangle OAH vu plus haut, on remarque que OH est un côté de l'angle droit (celui qui est un coté de l'angle α) et que OA est l'hypoténuse.
Le cosinus d'un angle d'un triangle rectangle est le quotient du côté adjacent à cet angle et de l'hypoténuse.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig_c70.jpg)
cosˆB=ABBC cosˆC=ACBC
IV. Utilité du cosinus
Il complète la propriété de Pythagore en permettant le calcul d'un côté ou d'un angle d'un triangle rectangle.
Recherche d'un côté de l'angle droit
EFG est un triangle rectangle en E ; on sait que :
ˆF=50∘ et FG=7cm.
cosˆF=EFFG
cos50∘=EF7
EF=7×cos50∘
EF≈4.5cm
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig_c71.jpg)
Recherche de l'hypoténuse
MNP est un triangle rectangle en M ; on sait que :
ˆN=25∘ et MN=4.5cm.
cosˆN=MNNP
cos25∘=4.5NP
NP=4.5cos25∘
NP≈5cm
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig_c72.jpg)
Recherche d'un angle
ABC est un triangle rectangle en A ; on sait que : AC=3cm et 7cm
cosˆC=ACBC
cosˆC=47
ˆC≈55∘
Par conséquent :
ˆB=90∘−ˆC≈90∘−55∘=35∘
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig_c73.jpg)
cos60∘
On considère un triangle ABC équilatéral dont le côté mesure a.
[AH] est une hauteur de ce triangle.
Les angles du triangle ABC sont égaux à 60∘
On trouve le cosinus de 60∘ en calculant, par exemple, le cosinus de l'angle ˆB du triangle rectangle ABH.
cosˆB=BHAB
cos60∘=a2a=a2×1a on simplifie par a
cos60∘=12
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig_c74.jpg)
Rappel :
égalités équivalentes (utiles pour les calculs de ce chapitre)
ax=b⟺x=ba⟺a=bx
comme : 2×3=6⟺3=62⟺2=63
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mer, 04/21/2021 - 23:13
Permalien
Hdsc bien merci
Ajouter un commentaire