Le cosinus d'un angle aigu-4e

Classe: 
Quatrième
 

I. Définition

Étant donné un angle aigu , de mesure α.α.
 
Par un point AA de [Ox)[Ox), on mène la perpendiculaire au côté [Oy)[Oy) de l'angle.
 
Cette perpendiculaire coupe [Oy) en H.[Oy) en H.
 
 
On appelle cosinus de l'angle ^xOyˆxOy, noté cos^xOycosˆxOy ou cosαcosα , le quotient OHOAOHOA
cos^xOy=OHOA
 
Ce quotient ne dépend pas de la position du point A  (même si A est sur le côté [Oy) et H sur [Ox).)

Remarque : 

cosα<1
 
car OH<OA (OH) est la plus courte distance de O à (AH)

II. Utilisation de la calculatrice

Lecture d'un cosinus :

La valeur d'un cosinus est indiquée par la fonction cos

Exemple :

La calculatrice étant en mode « degré »,
 
50 cos ou cos 50 indique :
 
0.64278761 qui est une valeur approchée de ce cosinus.
 
En général, la valeur utilisée est donnée avec trois chiffres après la virgule, soit, pour cet exemple :
cos500.643

Recherche d'un angle dont on connaît le cosinus :

La valeur de l'angle est indiquée par la fonction
 
cos1 ou INV cos ou 2nd cos

Exemple :

La calculatrice étant en mode « degré »,
 
On donne cosα=37 les manipulations indiquées ci-dessus (différentes selon le modèle de calculatrice) donnent l'indication : 64.62306647
 
On obtient donc : α64.6

Remarques :

cos0=1 C'est le cas où : OH=OA (A et H étant confondus)
 
cos90=0 C'est le cas où : OH=0 (H et O étant confondus)

III. Cosinus d'un angle du triangle rectangle

En considérant le triangle rectangle OAH vu plus haut, on remarque que OH est un côté de l'angle droit (celui qui est un coté de l'angle α) et que OA est l'hypoténuse.
 
Le cosinus d'un angle d'un triangle rectangle est le quotient du côté adjacent à cet angle et de l'hypoténuse.
 
                                cosˆB=ABBC       cosˆC=ACBC
                                

IV. Utilité du cosinus

Il complète la propriété de Pythagore en permettant le calcul d'un côté ou d'un angle d'un triangle rectangle.

Recherche d'un côté de l'angle droit

EFG est un triangle rectangle en E ; on sait que : 
 
ˆF=50 et FG=7cm.
 
cosˆF=EFFG
 
cos50=EF7
 
EF=7×cos50
 
EF4.5cm
 

Recherche de l'hypoténuse

MNP est un triangle rectangle en M ; on sait que :
 
ˆN=25 et MN=4.5cm.
 
cosˆN=MNNP
 
cos25=4.5NP
 
NP=4.5cos25
 
NP5cm
 

Recherche d'un angle

ABC est un triangle rectangle en A ; on sait que : AC=3cm et 7cm
 
cosˆC=ACBC
 
cosˆC=47
 
ˆC55

Par conséquent : 

ˆB=90ˆC9055=35
 
 
cos60
 
On considère un triangle ABC équilatéral dont le côté mesure a.
 
[AH] est une hauteur de ce triangle.
 
Les angles du triangle ABC sont égaux à 60
 
On trouve le cosinus de 60 en calculant, par exemple, le cosinus de l'angle ˆB du triangle rectangle ABH.
 
cosˆB=BHAB
 
cos60=a2a=a2×1a on simplifie par a
 
cos60=12
 

Rappel : 

égalités équivalentes (utiles pour les calculs de ce chapitre)
ax=bx=baa=bx
comme : 2×3=63=622=63 
 

Commentaires

Hdsc bien merci

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