Primitives - 1er S

Classe: 
Première
 

Définition

Soit F une fonction dérivable sur un intervalle I et soit f une fonction définie et continue sur I. 
 
On dit que F est une primitive de f sur I si pour tout x élément de I
 
On a : F(x)=f(x)

Autrement dit : 

F est une primitive de f sur I si f est la dérivée de F sur I.

Théorème (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.

Remarque : 

Si f admet une primitive sur I alors elle en admet une infinité.

Théorème

Deux primitives d'une même fonction sur un même intervalle diffèrent d'une constante.
 
Donc si F et G sont des primitives de f sur I alors il existe une constante réelle k telle que pour tout x élément de I F(x)=G(x)+k
 
Pour la preuve voir la variation des fonctions avec l'utilisation des dérivées.
 
On en déduit que : 
 
Chacune des primitives de f sur I est déterminée par sa valeur en un point de I.

Remarque : 

Toute primitive de f sur I est dérivable sur I.
 
Il serait utile de connaitre les résultats figurant sur le tableau suivant :
I=intervalle deRemarques ouFonction fPrimitive F où k estdéfinition de frestrictionsune constante réelleIRx0xkIRaRxaxax+kIRn entier naturelIRn entier relatifxxnxxn+1n+1+kn1IR+n réel n1IRx1x2x1x+kIR+x1xx2x+kIRxsinxxcosx+kIRxcosxxsinx+kIRxsin(ax+b)x1acos(ax+b)+kIRxcos(ax+b)x1asin(ax+b)+kIRxπ2+kπx1cos2xxtanx+kIRx1+tan2xxtanx+kIRx positifxxx23xx+kx(ax+b)IRAvec les mêmesx1a(ax+b)n+1n+1+kcontraintes sur net sur (ax+b)
Lorsque U désigne une fonction dérivable sur I , positive et non nulle dans certains cas, on a :
 
UU2 a pour primitives 1U+k
 
U×Un a pour primitives Un+1n+1+k
 
U×U a pour primitives 23UU+k
 
UU a pour primitives 2U+k
 
UUn peut être ramenée à la forme U×Un
 
Les contraintes sont les mêmes sur n et sur U.

 

Auteur: 
Ka, Faye & Mbengue

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