Primitives - 1er S

Classe: 
Première
 

Définition

Soit FF une fonction dérivable sur un intervalle II et soit ff une fonction définie et continue sur I.I. 
 
On dit que FF est une primitive de ff sur II si pour tout xx élément de II
 
On a : F(x)=f(x)

Autrement dit : 

F est une primitive de f sur I si f est la dérivée de F sur I.

Théorème (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.

Remarque : 

Si f admet une primitive sur I alors elle en admet une infinité.

Théorème

Deux primitives d'une même fonction sur un même intervalle diffèrent d'une constante.
 
Donc si F et G sont des primitives de f sur I alors il existe une constante réelle k telle que pour tout x élément de I F(x)=G(x)+k
 
Pour la preuve voir la variation des fonctions avec l'utilisation des dérivées.
 
On en déduit que : 
 
Chacune des primitives de f sur I est déterminée par sa valeur en un point de I.

Remarque : 

Toute primitive de f sur I est dérivable sur I.
 
Il serait utile de connaitre les résultats figurant sur le tableau suivant :
I=intervalle deRemarques ouFonction fPrimitive F où k estdéfinition de frestrictionsune constante réelleIRx0xkIRaRxaxax+kIRn entier naturelIRn entier relatifxxnxxn+1n+1+kn1IR+n réel n1IRx1x2x1x+kIR+x1xx2x+kIRxsinxxcosx+kIRxcosxxsinx+kIRxsin(ax+b)x1acos(ax+b)+kIRxcos(ax+b)x1asin(ax+b)+kIRxπ2+kπx1cos2xxtanx+kIRx1+tan2xxtanx+kIRx positifxxx23xx+kx(ax+b)IRAvec les mêmesx1a(ax+b)n+1n+1+kcontraintes sur net sur (ax+b)
Lorsque U désigne une fonction dérivable sur I , positive et non nulle dans certains cas, on a :
 
UU2 a pour primitives 1U+k
 
U×Un a pour primitives Un+1n+1+k
 
U×U a pour primitives 23UU+k
 
UU a pour primitives 2U+k
 
UUn peut être ramenée à la forme U×Un
 
Les contraintes sont les mêmes sur n et sur U.

 

Auteur: 
Ka, Faye & Mbengue

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