Primitives - 1er S
Classe:
Première
Définition
Soit F une fonction dérivable sur un intervalle I et soit f une fonction définie et continue sur I.
On dit que F est une primitive de f sur I si pour tout x élément de I
On a : F′(x)=f(x)
Autrement dit :
F est une primitive de f sur I si f est la dérivée de F sur I.
Théorème (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.
Remarque :
Si f admet une primitive sur I alors elle en admet une infinité.
Théorème
Deux primitives d'une même fonction sur un même intervalle diffèrent d'une constante.
Donc si F et G sont des primitives de f sur I alors il existe une constante réelle k telle que pour tout x élément de I F(x)=G(x)+k
Pour la preuve voir la variation des fonctions avec l'utilisation des dérivées.
On en déduit que :
Chacune des primitives de f sur I est déterminée par sa valeur en un point de I.
Remarque :
Toute primitive de f sur I est dérivable sur I.
Il serait utile de connaitre les résultats figurant sur le tableau suivant :
I=intervalle deRemarques ouFonction fPrimitive F où k estdéfinition de frestrictionsune constante réelleI⊂Rx↦0x↦kI⊂Ra∈Rx↦ax↦ax+kI⊂Rn entier naturelI⊂R∗n entier relatifx↦xnx↦xn+1n+1+kn≠−1I⊂R+∗n réel n≠−1I⊂R∗x↦1x2x↦−1x+kI⊂R+∗x↦1√xx↦2√x+kI⊂Rx↦sinxx↦−cosx+kI⊂Rx↦cosxx↦sinx+kI⊂Rx↦sin(ax+b)x↦−1acos(ax+b)+kI⊂Rx↦cos(ax+b)x↦1asin(ax+b)+kI⊂Rx≠π2+kπx↦1cos2xx↦tanx+kI⊂Rx↦1+tan2xx↦tanx+kI⊂Rx positifx↦√xx↦23x√x+kx↦(ax+b)I⊂RAvec les mêmesx↦1a(ax+b)n+1n+1+kcontraintes sur net sur (ax+b)
Lorsque U désigne une fonction dérivable sur I , positive et non nulle dans certains cas, on a :
U′U2 a pour primitives −1U+k
U′×Un a pour primitives Un+1n+1+k
U′×√U a pour primitives 23U√U+k
U′√U a pour primitives 2√U+k
U′Un peut être ramenée à la forme U′×U−n
Les contraintes sont les mêmes sur n et sur U.
Auteur:
Ka, Faye & Mbengue
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