Primitives - 1er S
Classe:
Première
Définition
Soit FF une fonction dérivable sur un intervalle II et soit ff une fonction définie et continue sur I.I.
On dit que FF est une primitive de ff sur II si pour tout xx élément de II
On a : F′(x)=f(x)
Autrement dit :
F est une primitive de f sur I si f est la dérivée de F sur I.
Théorème (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.
Remarque :
Si f admet une primitive sur I alors elle en admet une infinité.
Théorème
Deux primitives d'une même fonction sur un même intervalle diffèrent d'une constante.
Donc si F et G sont des primitives de f sur I alors il existe une constante réelle k telle que pour tout x élément de I F(x)=G(x)+k
Pour la preuve voir la variation des fonctions avec l'utilisation des dérivées.
On en déduit que :
Chacune des primitives de f sur I est déterminée par sa valeur en un point de I.
Remarque :
Toute primitive de f sur I est dérivable sur I.
Il serait utile de connaitre les résultats figurant sur le tableau suivant :
I=intervalle deRemarques ouFonction fPrimitive F où k estdéfinition de frestrictionsune constante réelleI⊂Rx↦0x↦kI⊂Ra∈Rx↦ax↦ax+kI⊂Rn entier naturelI⊂R∗n entier relatifx↦xnx↦xn+1n+1+kn≠−1I⊂R+∗n réel n≠−1I⊂R∗x↦1x2x↦−1x+kI⊂R+∗x↦1√xx↦2√x+kI⊂Rx↦sinxx↦−cosx+kI⊂Rx↦cosxx↦sinx+kI⊂Rx↦sin(ax+b)x↦−1acos(ax+b)+kI⊂Rx↦cos(ax+b)x↦1asin(ax+b)+kI⊂Rx≠π2+kπx↦1cos2xx↦tanx+kI⊂Rx↦1+tan2xx↦tanx+kI⊂Rx positifx↦√xx↦23x√x+kx↦(ax+b)I⊂RAvec les mêmesx↦1a(ax+b)n+1n+1+kcontraintes sur net sur (ax+b)
Lorsque U désigne une fonction dérivable sur I , positive et non nulle dans certains cas, on a :
U′U2 a pour primitives −1U+k
U′×Un a pour primitives Un+1n+1+k
U′×√U a pour primitives 23U√U+k
U′√U a pour primitives 2√U+k
U′Un peut être ramenée à la forme U′×U−n
Les contraintes sont les mêmes sur n et sur U.
Auteur:
Ka, Faye & Mbengue
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