Bac Maths 2ème groupe S2 S2A S4 S5 2012

On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par $U_{0}=1$ et $U_{n+1}=2U_{n}+an+b$

 

1) Soit $V_{n}=\dfrac{1}{3}U_{n}+n.$

 

Déterminer $a$ et $b$ pour que $(V_{n})$ soit une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.  (01 pt)

 

2) a) Écrire $V_{n}$ et $U_{n}$ en fonction de $n$  (01 pt)

 

b) Calculer la limite de $V_{n}.$  (01 pt)

 

3) Calculer $S_{n}=V_{0}+V_{1}+V_{2}+\ldots +V_{n}$ puis $S_{n}=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\ldots +U_{n}.$  (01 pt)

On considère la fonction sur $[0\;,\ +\infty[$ définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x)&=&x\ln x-x\\ f(0)&=&0 \end{array}\right.$$

 

1) Étudier la continuité et la dérivabilité en $0.$  (0.5+0.5 pt)

 

2) Dresser le tableau de variation de $f.$  (03 pt)

 

3) Tracer la courbe de $f.$  (02 pt)

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

 

1) Déterminer l'expression complexe et les éléments caractéristiques de la similitude directe $S$ qui transforme $A(1+2\mathrm{i})$ en $B(1+3\mathrm{i})$ et qui laisse $C(2\mathrm{i})$ invariant.  (01+01 pt)

 

2) Quelle est l'image de $E(3\mathrm{i}-1)$ par cette similitude ?  (01  pt)

 

3) a) Donner l'expression analytique de $S.$  (01 pt)

 

b) Quelle est l'image de la droite $(D)\ :\ x+2y+1=0$ par $S$ ?  (01 pt)

D'un sac contenant $3$ boules rouges, $4$ boules jaunes et $2$ boules vertes indispensables au toucher.

 

On tire simultanément trois boules.

 

Détermine la probabilité de chacune des évènements suivants :

 

A : « les boules sont de la même couleur »

 

B : « l'une seulement des boules est rouge »

 

C : « les boules sont de couleurs différentes »

 

D : « au moins une des boules est verte.»