Le plan complexe est muni du repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ direct.

 

I. Soit $z\in\mathbb{C}$ où $\mathbb{C}$ désigne l'ensemble des nombres complexes.

 

Posons $z=x+\mathrm{i}y\;,\ x\text{ et }y$ réels.

 

1) Sous quelle forme est écrit $z$ ? 

 

Quelle est sa partie réelle ? Quelle est sa partie imaginaire ? (0.25 pt)

 

2) Quel est le module de $z$ ? (0.25 pt)

 

3) Soit $\alpha$ un argument de $z$ pour $z\in\mathbb{C}^{\ast}.$

 

Déterminer le cosinus et le sinus de $\alpha$ en fonction de $z.$ (0.5 pt)

 

4) Soit $M(z)$ un point du plan complexe et $M'(z')$ l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta.$

 

Exprimer $z'$ en fonction de $z$ et $\theta.$ (0.5 pt)

 

II. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ qui suit.

 

$(E)\ :\ \dfrac{1}{2}z^{2}+4z\sqrt{3}+32=0$

 

1) Résoudre l'équation $(E).$ (0.5 pt)

 

2) On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=-4\sqrt{3}-4\mathrm{i}$ et $b=-4\sqrt{3}+4\mathrm{i}.$

 

Calculer $OA$, $OB$ et $AB.$ (0.75 pt)

 

En déduire la nature du triangle $OAB.$ (0.5 pt)

 

3) On désigne par $C$ le point d'affixe $c=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ et par $D$ son image par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$ (0.25 pt)

 

Déterminer l'affixe du point $D.$

 

4) On appelle $G$ le barycentre des points pondérés $(O\;,\ 1)$ ; $(D\;,\ -1)$ et $(B\;,\ -1).$

 

a) Montrer que le point $G$ a pour affixe $g=-4\sqrt{3}+6\mathrm{i}.$ (0.5 pt)

 

b) Placer les points $A$, $B$, $C$ et $G$ sur une figure (unité graphique : $1\;cm$) (01 pt)

 

5) Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{GA}\;,\ \overrightarrow{GC}\right).$ (0.5 pt)

 

En déduire la nature du triangle $GAC.$ (0.25 pt)

I. On considère $\Omega$ l'univers associé à une expérience aléatoire, $A$ et $B$ deux évènements. 

 

Dans le cas d'équiprobabilité rappeler les probabilités des évènements suivants :

 

$A$, $A$ sachant $B$, $A\cap \overline{B}$ et $(A\cap\overline{B})\cup(A\cap B).$ (02 pts)

 

II. Une société de distribution d'électricité ayant une production insuffisante en électricité pour assurer une alimentation continue dans tout le pays, procède à des délestages.

 

Ainsi à partir d'un certain jour les délestages ont débuté dans une ville à un rythme décrit comme suit :

 

-Le premier jour la ville est délestée.

 

-Si la ville est délestée un jour, la probabilité qu'elle soit délestée le jour suivant est $\dfrac{2}{9}.$

 

-Si elle n'est pas délestée un jour, la probabilité qu'elle soit délestée le jour suivant est $\dfrac{5}{6}.$

 

On désigne par $D_{n}$ l'évènement : 

 

« La ville est délestée le $n^{ième}$ jour » et $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $D_{n}\;,\ p_{n}=p(D_{n}).$

 

1) Montrer les égalités suivantes :

 

$p(D_{1})=1$ ; (0.25 pt)

 

$p\left(\dfrac{D_{n+1}}{D_{n}}\right)=\dfrac{2}{9}$ ;  (0.25 pt)

 

$p\left(\dfrac{D_{n+1}}{\overline{D}_{n}}\right)=\dfrac{5}{6}$ ;  (0.25 pt)

 

2) Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p\left(D_{n+1}\cap D_{n}\right)$ et $p\left(D_{n+1}\cap \overline{D}_{n}\right).$ (0.5 pt)

 

3) En déduire que, quel que soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on a :

 

$p_{n+1}=-\dfrac{11}{18}p_{n}+\dfrac{5}{6}$  (0.25 pt)

 

4) On pose $U_{n}=6p_{n}-\dfrac{90}{29}$, pour $n\in\mathbb{N}^{\ast}.$

 

a) Montrer que la suite $(U_{n})$ est géométrique. 

 

Préciser sa raison et son $1^{er}$ terme.  (0.75 pt)

 

b) Exprimer $U_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n.$ (01 pt)

 

c) Un match de football doit se jouer le $20^{ème}$ jour. 

 

Quelle est la probabilité pour que les habitants de la ville le suivent sans délestage. (0.5 pt)

I. Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{3(x-1)^{2}}{3x^{2}+1}.$

 

1) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. (0.5 pt)

 

2) Déterminer la dérivée de $f$, étudier son signe et dresser le tableau de variation de $f.$  (01.5 pt)

 

3) Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une solution et une seule $\alpha\in\mathbb{R}.$ (01 pt)

 

En déduire que $3<\alpha<4.$

 

II. Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{3(\ln|x|-1)^{3}}{3\ln^{2}|x|+1}.$

 

1) a) Montrer que $g$ est définie sur $\mathbb{R}^{\ast}.$ (0.5 pt)

 

b) Démontrer que $g$ est la composée de la fonction $f$ et d'une fonction $h$ à préciser.  (0.25 pt)

 

c) Étudier la parité de $g.$ (0.25 pt)

 

d) On note $D_{E}=]0\;,\ +\infty[.$

 

Soit $k$ la restriction de $g$ à $D_{E}.$

 

Calculer les limites de $k$ aux bornes de $D_{E}.$ 

 

Étudier les branches infinies. (01 pt)

 

2) a) En utilisant les questions I) et II 1) b)

 

Calculer $k'(x)$ et étudier les variations de $k$ sur $D_{E}.$ (0.5 pt)

 

Dresser le tableau de variations de $k$ sur $D_{E}.$ (0.5 pt)

 

b) Déterminer le point d'intersection de la courbe de $k$ avec l'axe des abscisses et préciser le signe de $k.$ (0.5 pt)

 

3) a) Montrer que $k$ réalise une bijection de $]0\;,\ +\infty[$ sur un intervalle $J$ à préciser. (0.5 pt)

 

c) Construire les courbes $(\mathcal{C}_{k})$ et $(\mathcal{C}_{k}^{-})$, $\mathcal{C}_{k}^{-1}$ est la courbe représentative de la bijection réciproque $k^{-1}$ de $k$ dans un repère orthonormé ; unité graphique : $1\;cm$ (01 pt)

 

Tracer la courbe de $g$ dans le repère précédent. (0.5 pt)