Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace - 1er S

Classe: 
Première
 

I. Droites orthogonales

Définition : 

Deux droites D et D de l'espace E sont dites orthogonales si leurs parallèles DA et DA menées par un point quelconque A de E sont perpendiculaires.
 
 
 

Remarques :

1) Nous admettrons que cette définition ne dépend pas du choix du point A. 
 
Cela revient à admettre que la distance est invariante par translation dans E.
 
2) Deux droites de E peuvent être orthogonales et non coplanaires : 
 
Elles n'ont alors aucun point commun.

Théorème 1 :

1) Si deux droites sont orthogonales, toute parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.
 
2) Si deux droites sont parallèles, toute orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
 
3) Deux droites sont orthogonales si et seulement si elles sont parallèles à deux droites orthogonales.

Démonstration : 

1) Supposons que DD et ΔD.
 
Soient DA et DA les parallèles menées par un point A à D et D. 
 
On a DADA.
 
La parallèle ΔA à Δ passant par A n'est autre que DA car ΔDA (voir Axiome d'EUCLIDE). 
 
Donc ΔADA, d'où ΔD.
 
2) Supposons que DD et ΔD.
 
Alors DA=DA. 
 
Or ΔADA, donc ΔADA, d'où ΔD.
 
3) « » : Si DD, alors leurs parallèles DA et DA sont orthogonales par définition.
 
« » : Réciproquement, supposons qu'il existe deux droites Δ et Δ telles que :DΔ, DΔ et ΔΔ.
 
Alors, DA=ΔA et DA=ΔA.
 
Par hypothèse, on a ΔAΔA, d'où DADA, donc DD.

Remarques :

Attention, dans l'espace DD et DD n'entraîne pas DD. 
 
Alors que dans le plan ce résultat est vrai. 
 
Par exemple dans le cube ci-dessous : 
 
 
 
Les droites (DE) et (FG) sont orthogonales à la droite (EF) et pourtant (DE) et (FG) ne sont pas parallèles !
 
Bien faire la nuance entre droites orthogonales et droites perpendiculaires : 
 
On parle de droites orthogonales pour des droites qui n'ont pas de point d'intersection : 
 
Elles ne sont pas coplanaires. 
 
Par contre, dans l'espace, perpendiculaires signifie orthogonales et sécantes.

II. Droite orthogonale à un plan

Définition : 

Une droite est dite orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan.

Remarque : 

Si une droite D et un plan P sont orthogonaux, alors ils sont sécants.
 
En effet, si D était parallèle à P elle serait parallèle à une droite Δ de P. 
 
Or D est supposée être orthogonale à toute droite Δ de P. 
 
D et Δ seraient donc à la fois parallèles et orthogonales, ce qui est absurde.

Théorème Fondamental : 

Une droite Δ est orthogonale à un plan P si et seulement si Δ est orthogonale à deux droites sécantes de P.

Démonstration : 

« » : C'est évident, car si Δ est orthogonale à toutes les droite de P, elle est évidemment orthogonale à deux droites sécantes de P.
 
« » : Soient Δ1 et Δ2 deux droites sécantes en O du plan P. 
 
Quitte à remplacer Δ par une de ses parallèles, on peut supposer que Δ est orthogonale à Δ1 et Δ2 en O. 
 
Dans le plan P, menons par O une droite D quelconque distincte de Δ1 et Δ2.
 
 
 
On considère sur les droites Δ et D respectivement deux points distincts de O notés A et C. 
 
On considère sur Δ1 et Δ2 les points B et D tels que OBCD soit un parallélogramme de centre I.
 
D'après le théorème de la médiane dans la triangle OBD, on a :
OB2+OD2=2OI2+BD22(1)
 
Et d'après ce même théorème dans le triangle ABD, on a :
AB2+AD2=2AI2+BD22(2)
 
Les triangles AOB et AOD étant rectangles en O par hypothèse, on a en utilisant le théorème de PYTHAGORE : 
AB2=AO2+OB2 et AD2=AO2+OD2.
 
En substituant ces expressions dans (2), on obtient :
2AO2+OB2+OD2=2AI2+BD22
 
Puis en tenant compte de (1) : 
2AO2+2OI2+BD22=2AI2+BD22
 
En simplifiant, il vient alors : AO2+OI2=AI2.
 
On en conclut que Δ est orthogonale en O à D
 
Ainsi Δ est orthogonale à n'importe quelle droite D de P. C.Q.F.D.
 
Les théorèmes qui suivent sont des conséquences du théorème fondamental.

Théorème 2 : 

Lorsque deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.

Démonstration : 

Soient deux droites parallèles D et D et P un plan orthogonal à D.
 
Soient X et X deux droites sécantes du plan P.
 
 
 
DXDX (d'après le théorème 1, 1).
 
DXDX (d'après le théorème 1, 1).
 
D est donc orthogonale à deux droites séantes X et X du plan P, d'où DP, d'après le théorème fondamental.

Théorème 3 : 

Lorsque deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.

Démonstration : 

Supposons que PP et ΔP.
 
Soient D1 et D2 deux droites sécantes en A et incluses dans P.
 
 
 
Leurs parallèles et D1 et D2, menées par un point A de P, appartiennent à P
 
Δ étant orthogonale à P est orthogonale à D1, par définition, donc à D1 (d'après le théorème 1, 2). 
 
De même, ΔD2ΔD2. 
 
Par conséquent, Δ est orthogonale à P puisqu'elle est orthogonale à deux droites sécantes de P.

Théorème 4 : 

Par un point donné P, on peut mener un plan P et un seul orthogonal à une droite donnée Δ.

Démonstration : 

a) Existence

1er cas : Le point O appartient à la droite Δ
 
 
 
Soient Q et R deux plans sécants suivant la droite Δ. 
 
Dans le plan Q, il existe une droite unique passant par O et perpendiculaire à Δ (Théorème de géométrie plane). 
 
Notons-la Ox. 
 
De même, dans le plan R, une unique droite passant par O et perpendiculaire à Δ que nous noterons Oy. 
 
Le plan P=(Ox, Oy) est alors perpendiculaire à Δ.
 
2ième cas : Le point O n'appartient pas à la droite Δ
 
 
 
Soit Δ la parallèle à Δ passant par O. 
 
D'après le premier cas, il existe un seul plan P passant par O et orthogonal à Δ. 
 
Δ étant parallèle à Δ et P orthogonal à Δ, il en résulte (théorème 2) que P est orthogonal à Δ. 
 
En outre, P passe par O.

b) Unicité

Supposons qu'il existe deux plans P1 et P2 passant par O orthogonaux à Δ. 
 
Comme ces deux plans sont distincts et ont un point commun, ils sont sécants suivant une droite Δ. 
 
Soit P le plan défini par Δ0 et Δ, où Δ0 est la parallèle à Δ passant par O.
 
P coupe P2 suivant une droite Δ passant par O.
 
Δ0 est orthogonale à P2 car ΔΔ0 et ΔP2 (cf. théorème 2).
 
Donc Δ0Δ et Δ0Δ (car ΔP2). 
 
Or, Δ0, Δ et Δ sont toutes trois des droites de P et Δ et Δ sont sécantes en O
 
d'où une contradiction (deux droites d'un même plan orthogonales à une même troisième doivent être parallèles).

Conséquence : 

Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
En effet, si deux plans P1 et P2 étaient orthogonaux à une même droite Δ et sécants, soit O un point de P1P2. 
 
Par O passeraient deux plans P1 et P2 orthogonaux à Δ, ce qui contredit le théorème 4.

Théorème 5 : 

Par un point donné O, passe un plan P et un seul orthogonal à une droite donnée.

Démonstration : 

1er cas : OP
 
 
Soit Ox une droite quelconque de P. 
 
D'après le théorème 4, il existe un plan unique Q passant par O et perpendiculaire à Ox. 
 
Ce plan Q coupe P suivant une droite Oy. 
 
Dans ce plan Q, soit Δ la perpendiculaire à Oy passant par O. 
 
Δ est par construction perpendiculaire aux deux droites sécantes Ox et Oy du plan P, donc ΔP.
 
Supposons qu'il existe une autre droite Δ distincte de Δ et perpendiculaire en O au plan P. (cf. Figure ci-dessous). 
 
Δ et Δ détermineraient un plan R qui couperait P suivant une droite Δ passant par O. 
 
Dans ce plan R, on aurait :
 
ΔΔ et ΔΔ
 
Ceci est absurde car Δ et Δ sont deux droites sécantes (en O) du plan R.
 
 
2ième cas : OP
 
 
Soit P le plan passant par O et parallèle à P. 
 
D'après le 1er cas, il existe une unique droite Δ passant par O et parallèle à P. 
 
Δ est perpendiculaire à P (d'après le théorème 3). 
 
Toute autre droite perpendiculaire à P est perpendiculaire à P, donc est confondue avec Δ.

Conséquence : 

Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
 
En effet, si D et D sont perpendiculaires à P en A et A respectivement, soit Δ1 la parallèle à D passant par A. 
 
Alors Δ1 est perpendiculaire au plan P (d'après le théorème 2), donc confondue avec D (puisqu'il n'existe qu'une seule perpendiculaire en A à P). 
 
En d'autres termes, D et D sont parallèles.
 
 
Les théorèmes 4 et 5 nous permettent de définir la notion de projection orthogonale dans l'espace. 
 
Il y a deux cas :

Définition 1 : 

Soit M un point quelconque de l'espace et P un plan donné. 
 
Il existe (d'après le théorème 5) une droite DM et une seule passant par M et orthogonale à P. 
 
DM perce P en un point M.
 
M est, par définition le projeté orthogonal du point M sur le plan P.
 
 

Définition 2 : 

Soit M un point quelconque de l'espace et D une droite donné. 
 
Il existe (d'après le théorème 4) un plan PM et un seul passant par M et perpendiculaire à D. 
 
PM coupe D en un point M.
 
M est, par définition le projeté orthogonal du point M sur la droite D.
 
 
Nous définissons également la notion très importante de plan médiateur :

Définition 3 : 

Soient A et B deux points distincts de l'espace. 
 
Le plan médiateur du segment [AB] est le plan passant par I milieu de [AB] et orthogonal à (AB).
 
 

Théorème 6 : 

Le plan médiateur du segment [AB] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de A et B.

Démonstration : 

Il est clair que le point I appartient au plan médiateur de [AB] et que IA=IB. 
 
Soit M un point du plan médiateur de [AB] distinct de I. 
 
M, A, et B définissent un plan (car, par définition, le plan médiateur de [AB] n'a d'intersection avec la droite (AB) que le point I, donc M, A et B sont non alignés).
 
Plaçons-nous dans le plan (MAB). 
 
I appartient à ce plan et on a (MI)(AB) (car (AB) est orthogonal par définition à toutes les droites du plan médiateur de [AB]).
 
Donc (MI) est la médiatrice de [AB] dans le plan (MAB). 
 
D'où : MA=MB.
 
Réciproquement, supposons que : MA=MB et que M ne soit pas confondu avec I.
 
Alors dans le plan (MAB), la droite (MI) est la médiatrice du segment [AB], donc (MI) est orthogonale au segment [AB].

Exercice : 

Soit G barycentre de (A, 2), (B, 1), (C, 1) et K barycentre de (A, 2), (B, 1), (C, 1). 
 
Déterminer l'ensemble des points M de l'espace tels que
2MAMB+MC=2MA+MBMC

Réponse : 

On trouve le plan médiateur de [GK].

IV. Vecteur normal à un plan

Définition : 

On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite D orthogonale à P.

Théorème 7 : 

Deux plans sont parallèles si et seulement si ils admettent des vecteurs normaux colinéaires.

Démonstration : 

« » : Supposons que P et P soient parallèles. 
 
Soient n et n4 deux vecteurs directeurs de D et D orthogonales à P et P respectivement.
 
On a : (DP et PP)(DP) (d'après le théorème 3).
 
Et : (DP et DP)(DD) (d'après la conséquence du théorème 5).
 
n et n sont donc colinéaires.
« » : Soient n et n deux vecteurs normaux à P et P tels que n et n soient colinéaires. 
 
Il existe deux droites D et D de vecteurs directeurs respectifs n et n.
 
D et D sont alors parallèles. 
 
Et puisque DP, on a DP (théorème 2).
 
D'autre part, (DP et DP)(PP) (conséquence du théorème 4).

V. Produit scalaire dans l'espace

Définition : 

Soient u et v deux vecteurs de l'espace et O un point donné. 
 
Il existe (d'après l'Axiome d'EUCLIDE) des points A et B (uniques) tels que :
OA=u et OB=v
 
On appelle alors produit scalaire de u et v le produit scalaire OAOB=¯OAׯOH dans le plan (OAB) (H étant le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA).
 
Nous admettrons que cette définition est indépendante du point O choisi.

Théorème 8 :

1) Pour tous vecteurs u et v de l'espace et tout réel k, on a :
 
a) uv=vu      b) u(kv)=k(uv)
 
2) Pour tous vecteurs u, v et w de l'espace, on a :
 
u(v+w)=uv+uw
 
Nous admettrons que ces propriétés sont vraies même si u, v et w ne sont pas coplanaires.

Définition : 

On appelle carré scalaire du vecteur u le réel uu noté u2.

Théorème 9 : 

Pour tout vecteur u, on a : 
 
uu0 et u2=0 si et seulement si u=0.

Définition : 

Dans l'espace, la norme du vecteur u est, par définition u=u2.

Théorème 10 :

1) Pour tout vecteur u, on a : 
 
u=0u=0.
 
2) AB=AB
 
3) λR, λu=|λ|u.
 
4) |uv|u×v (inégalité de Cauchy-Schwarz)
 
5) u+vu+v (inégalité triangulaire)
 
6) u+v2=u2+2uv+v2
 
7) uv2=u22uv+v2
 
8) (u+v)(uv)=u2v2

Démonstration : 

Les trois premiers résultats sont des conséquences de la définition de la norme. 
 
Les suivantes se démontrent, comme dans le plan en prenant des représentants des vecteurs et en utilisant les propriétés du produit scalaire admises au théorème 8.

Définition : 

Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux si et seulement si uv=0

N.B 

Comme dans le plan, on note alors uv.

Propriétés :

1) uvλR, μR, (λu)(μv)
 
2) Deux droites D et D sont orthogonales si et seulement si il existe un vecteur directeur u de D et un vecteur directeur u de D tel que uu.
 
3) Une droite D est orthogonale à un plan P si et seulement si il existe un vecteur directeur u de D et deux vecteurs directeurs non colinéaires u et u de P tels que :
 
uu et uu.
 
4) L'ensemble des points M de l'espace tels que AMn est le plan passant par A et de vecteur normal n.

Démonstration : 

Ces propriétés sont des conséquences de la définition de l'orthogonalité de deux vecteurs ainsi que des résultats déjà établis sur l'orthogonalité d'une droite et d'un plan ou celle de deux droites.

VI. Plans perpendiculaires

Définition : 

Deux plan P et P sont dits perpendiculaires s'il existe un vecteur n de P et un vecteur normal n de P tels que nn.

Remarque : 

Deux plans perpendiculaires sont sécants.
 
 
En effet, avec les notations précédentes, si P était parallèle à P, n et n seraient colinéaires. 
 
Or n et n sont non nuls et orthogonaux : contradiction.

Théorème 11 : 

Deux plan sont perpendiculaires si et seulement si l'un contient une droite orthogonale à l'autre.

Démonstration : 

« » : Supposons que P et P soient perpendiculaires et soit n et n des vecteur normaux respectifs à P et P. 
 
Soit A un de leurs points communs (APP). 
 
Soit D la droite définie par A et n, D la droite définie par A et n. 
 
Alors les droites D et D sont orthogonales. 
 
Soit π le plan (D, D).
 
π coupe P suivant une droite δ passant par A. 
 
DP, donc Dδ. 
 
Dδ, DD et toutes trois sont coplanaires et passent par A : alors D=δ.
 
Donc DP et DP.
 
« » : Supposons que P contienne une droite Δ orthogonale à P. 
 
Soit u un vecteur directeur de Δ. 
 
Alors u est un vecteur normal à P. 
 
Soit n un vecteur normal à P. 
 
Alors n est orthogonal à tout vecteur de la direction de P, donc en particulier à u.

Remarques : 

1) Si PP, toute droite D orthogonale à P et toute droite D orthogonale à P sont orthogonales.
 
2) Par contre toute droite de P n'est pas nécessairement orthogonale à toute droite de P.

VII. Repères orthonormés de l'espace

Définition : 

Une base (i, j, k) de l'espace est dite orthonormée si et seulement si :
ij=jk=ki=0 et i=j=k=1.
 
Un repère orthonormé de E est un quadruplet (O, i, j, k)O est un point de E et (i, j, k) une base orthonormée.

Théorème 12 : 

Soit (O, i, j, k) un repère orthonormé de l'espace, u et u les vecteurs de coordonnées respectives (x, y, z) et (x, y, z) dans ce repère.
 
Alors on a : 
uu=xx+yy+zz et u=x2+y2+z2

Démonstration : 

D'après les propriétés du produit scalaire vues au théorème 8, on a : 
 
uv=(xi+yj+zk)(xi+yj+zk)=(xx)i2+(yy)j2+(zz)k2+(xy+yx)ij+(yz+zy)jk+(xz+zx)ki
 
D'où la première égalité, puisque (i, j, k) est une base orthonormée.
 
La deuxième égalité provient de la relation u=u2.

Corollaire :

1) Soit u et  deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y, z) et (x, y, z) dans la base orthonormée B. 
 
Alors : uuxx+zz=0.
 
2) Soient A et B deux points de l'espace de coordonnées (xA, yA, zA) et (xB, yB, zB) dans un repère orthonormé R. 
 
Alors, on a :
AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2
Auteur: 
Ka, Faye & Mbengue

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