BAC S SPECIALITE Pondichéry avril 2009
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O ; →u ; →v). On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit A et B les points d'affixes respectives zA=i et zB=1+2i
Justifier qu'il existe une unique similitude directe S telle que :
S(O)=A et S(A)=B.
Montrer que l'écriture complexe de S est :
z′=(1−i)z+i.
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera Ω le centre de S).
On considère la suite de points (An) telle que :
∙ A0 est l'origine du repère et,
∙ pour tout entier naturel n,An+1=S(An).
On note zn, l'affixe de An. (On a donc A0=O, A1=A et A2=B).
Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn=1−(1−i)n.
Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs →ΩAn et →AnAn+1.
Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l'angle (→ΩAn, →AnAn+1).
En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An.
Construire les points A3 et A4.
Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite (ΩB) ?
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