BAC S SPECIALITE Pondichéry avril 2009

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O ; u ; v). On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit A et B les points d'affixes respectives zA=i et zB=1+2i

  Justifier qu'il existe une unique similitude directe S telle que :
    S(O)=A  et  S(A)=B.
  Montrer que l'écriture complexe de S est :
  z=(1i)z+i.
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera Ω le centre de S).
    
On considère la suite de points (An) telle que :
 
              A0 est l'origine du repère et,
              pour tout entier naturel n,An+1=S(An).
     
    On note zn, l'affixe de An. (On a donc A0=O, A1=A et A2=B).
 
    
         Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn=1(1i)n.
         Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs ΩAn  et AnAn+1.
        
Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l'angle (ΩAn, AnAn+1).
         En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An.
        
Construire les points A3 et A4.
    
 Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite (ΩB) ?
 

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