BAC S SPECIALITE Amérique du Sud novembre 2008

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $D$ la droite passant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 2) et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées (1 ; 1 ; 0) et soit $D'$ la droite dont une représentation paramétrique est :  
$$\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t' y&=& - t' z&=&- 2\\ \end{array}\right. ~(t' \in \mathbb{R})$$

Le but de l'exercice est d'étudier l'ensemble $S$ des points de l'espace équidistants de $D$ et de $D'.$

Une équation de \boldmath $S$ \unboldmath
    
         Montrer que $D$ et $D'$ sont orthogonales et non coplanaires.
         Donner une représentation paramétrique de la droite $D$.
        
Soit $M$ un point de l'espace de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D$. Montrer que $\overrightarrow{MH}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{-x + y}{2}~;~\dfrac{x - y}{2}~;~ 2 - z \right)$.

En déduire $MH^2$ en fonction de $x,~ y$ et $z$.

Soit $K$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D'$. Un calcul analogue au précédent permet d'établir que : $MK^2 = \dfrac{(x + y)^2}{2} + (2 + z)^2$, relation que l'on ne demande pas de vérifier.

         Montrer qu'un point $M$ de coordonnées $(x ~;~ y ~;~ z)$ appartient à $S$ si et seulement si   $z = - \dfrac{1}{4}xy$.
    
     {Étude de la surface \boldmath $S$ \unboldmath d'équation}\boldmath   $z = - \dfrac{1}{4}xy$ \unboldmath
    
         On coupe $S$ par le plan ($x$O$y$). Déterminer la section obtenue.
         On coupe $S$ par un plan $P$ parallèle au plan ($x$O$y$).
        
Quelle est la nature de la section obtenue ?
          Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.}
        
On coupe $S$ par le plan d'équation $x + y = 0$. Quelle est la nature de la section obtenue