BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane septembre 2008

PARTIE A :

On considère le système de congruences :

\[(S) \left\{\begin{array}{l c l r}
n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3)
n & \equiv & 1& (\text{modulo}~ 5)
\end{array}\right.
, \text{où}~ n~ \text{désigne un entier relatif. }\]

Montrer que $11$ est solution de $(S)$.
 Montrer que si $n$ est solution de $(S)$ alors $n -11$ est divisible par $3$.
 Montrer que les solutions de $(S)$ sont tous les entiers de la forme $11 + 15k$, où $k$ désigne un entier relatif.

PARTIE B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
On considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ et $g$ celle qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z''$ définies par :

\[z' = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}z \quad \text{et}\quad z'' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}z.\]

  Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications $f$ et $g$.

 On considère les points $A_{0}$ et $B_{0}$ d'affixes respectives $a_{0} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $b_{0} =  4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$
.
Soient $\left(A_{n}\right)$ et $\left(B_{n}\right)$ les suites de points définies par les relations de récurrences :

\[A_{n+1} =  f\left(A_{n}\right) \quad \text{et} \quad  B_{n+1} =  g\left(B_{n}\right).\]

 On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les affixes respectives de $A_{n}$ et $B_{n}$.
    
         Quelle est la nature de chacun des triangles O$A_{n}A_{n+1}$ ?
         En déduire la nature du polygone $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$.     
          Montrer que les points $B_{n}$ sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.  
         Indiquer une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{O}B_{n}},~\overrightarrow{\text{O}B_{n+2}}\right)$.
         En déduire la nature du polygone $B_{0}B_{2}B_{4}B_{6}B_{8}$.
          Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$.
          Montrer que les entiers $n$ pour lesquels les points $A_{n}$ et $B_{n}$ sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système $(S)$ de la PARTIE A.