BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane septembre 2008
PARTIE A :
On considère le système de congruences :
(S){n≡2(modulo 3)n≡1(modulo 5),où n désigne un entier relatif.
Montrer que 11 est solution de (S).
Montrer que si n est solution de (S) alors n−11 est divisible par 3.
Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11+15k, où k désigne un entier relatif.
PARTIE B :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; →u ; →v).
On considère l'application f du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point d'affixe z′ et g celle qui à tout point M d'affixe z associe le point d'affixe z″ définies par :
z′=1+i√32zetz″=eiπ5z.
Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g.
On considère les points A0 et B0 d'affixes respectives a0=2e−2iπ3 et b0=4e−iπ5
.
Soient (An) et (Bn) les suites de points définies par les relations de récurrences :
An+1=f(An)etBn+1=g(Bn).
On note an et bn les affixes respectives de An et Bn.
Quelle est la nature de chacun des triangles OAnAn+1 ?
En déduire la nature du polygone A0A1A2A3A4A5.
Montrer que les points Bn sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Indiquer une mesure de l'angle (→OBn, →OBn+2).
En déduire la nature du polygone B0B2B4B6B8.
Exprimer an et bn en fonction de n.
Montrer que les entiers n pour lesquels les points An et Bn sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.
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