BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane septembre 2008

PARTIE A :

On considère le système de congruences :

(S){n2(modulo 3)n1(modulo 5), n désigne un entier relatif. 

Montrer que 11 est solution de (S).
 Montrer que si n est solution de (S) alors n11 est divisible par 3.
 Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11+15k, où k désigne un entier relatif.

PARTIE B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u ; v).
On considère l'application f du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point d'affixe z et g celle qui à tout point M d'affixe z associe le point d'affixe z définies par :

z=1+i32zetz=eiπ5z.

  Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g.

 On considère les points A0 et B0 d'affixes respectives a0=2e2iπ3 et b0=4eiπ5
.
Soient (An) et (Bn) les suites de points définies par les relations de récurrences :

An+1=f(An)etBn+1=g(Bn).

 On note an et bn les affixes respectives de An et Bn.
    
         Quelle est la nature de chacun des triangles OAnAn+1 ?
         En déduire la nature du polygone A0A1A2A3A4A5.     
          Montrer que les points Bn sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.  
         Indiquer une mesure de l'angle (OBn, OBn+2).
         En déduire la nature du polygone B0B2B4B6B8.
          Exprimer an et bn en fonction de n.
          Montrer que les entiers n pour lesquels les points An et Bn sont simultanément sur l'axe des réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.

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