Bac blanc Maths S2 S2A S4 S5 2012

Un écolier dispose de deux trousses de même couleur. 

La première contient $2$ stylos $2$ crayons et $1$ feutre.

La seconde contient $1$ stylo $2$ crayons et $3$ feutres. 

On considère les évènements suivants :

$T_{1}$ « la première trousse a été choisie » ; 

$T_{2}$ « la seconde trousse a été choisie » ;

$S$ « l'écolier a utilisé un stylo » ;  

$C$ « l'écolier a utilisé un crayon » ;  

$F$ « l'écolier a utilisé un feutre ».

1) L'écolier choisit dans un premier temps la première trousse et $y$ tire simultanément par hasard trois objets.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de crayon tiré.

a) déterminer les différente valeurs de $X$

b) Donner la loi de probabilité de $X$

c) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $X$

2) L'écolier choisit maintenant une des deux trousses au hasard et y tire un objet.

a) Calculer $P(S/T_{1})$ ; 

$P(S/T_{2})$ ; 

$P(S∩T_{1})$ et $P(S\cap T_{2})$

b) En déduire $P(S)$

3) L'écolier a utilisé un stylo, calculer la probabilité qu'il provienne de la seconde trousse.

Le plan est muni d'un repère, soit la fonction $f(x)=(a+bx)\mathrm{e}^{x}$ ou $a$ et $b$ sont des nombres réels. 

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe de $f$ passant par le point $B(0\;;\ 3)$ et la tangente $(D)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ en $B$ passe par le point $E(-1\;;\ 1).$

1) a) Par lecture graphique donner les valeurs de $f(0)$ ; $f'(0)$ et $f'(2)$

b) Donner le signe de $f'(x)$  sur $\mathbb{R}$

c) Donner le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$

2) En utilisant les résultats du 1) a) déterminer les valeurs de $a$ et $b$

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\;;\ +\infty[$ par : 

$g(x)=-1+\mathrm{e}^{x-1}+\ln x$ ou $ln$ désigne la fonction logarithme népérien et $\mathrm{e}$ est sa base.

1) a) Calculer la limite de la fonction $g$ en $0$, puis en $+\infty.$

b) Calculer $g(1).$

2) a) Étudier le sens de variation de la fonction $g$ et dresser son tableau de variation.

b) En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeur de $x.$

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\;;\ +\infty[$ par :
$$f(x)=x(-2+\ln ⁡x)+\mathrm{e}^{x-1}.$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;;\ \vec{j}).$

On prendra pour unité de longueur $4\,cm.$

1) Calculer la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty.$

2) Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f.$

a) Pour tout $x$ de $]0\;;\ +\infty[$, calculer $f'(x)$ et en déduire les variations de $f.$

b) Dresser le tableau de variation de $f.$

3) Recopie et compléter le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&0.5&0.75&1&2\\ \hline f(x)& & & &\\ \hline \end{array}$$
      
On donnera les valeurs approchées de $f(x)$ à $0.1$ près par défaut.

4) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]1\;;\ +\infty[.$

5) Tracer la partie de la courbe $(\mathcal{C})$ correspondant aux points dont l'abscisse appartient à l'intervalle $[0.5\;;\ 2].$

1) Soit $h$ la fonction définie sur $]0\;;\ +\infty[$ par :
$$h(x)=\dfrac{5}{4}+\dfrac{x^{2}}{2}\left(-\dfrac{5}{2}+\ln x\right).$$

a) Déterminer la fonction $h'(x)$ la fonction dérivée $h(x)$

b) En déduire une primitive $F$ de $f(x)$

2) Calculer en $cm^{2}$ l'aire du domaine du plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x=0.5$ et $x=1$