Devoir n° 4 - TL

 

Le tableau suivant détermine la distance de freinage en fonction de la vitesse.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Vitesse }X_{i}\text{ en }km/h&30&40&80&90&100\\ \hline\text{Distance }Y_{i}\text{ en }m&16&25&100&121&144\\ \hline\end{array}$$

1) Représenter le nuage des points $M_{i}(X_{i}\;;\ Y_{i})$ associé a cette série et le point moyen $G(X\;;\ Y)$ dans un repère orthogonal (abscisses : $1\;cm\rightarrow 10\;km/h$ ;  ordonnées : $1\;cm\rightarrow 10\;m)$

 

2) Calculer  $V(X)\;;\ V(Y)\;;\ COV(X\;;\ Y)$ et le coefficient de corrélation linéaire. Interpréter le.

 

3) Donner par la méthode des moindres carrés l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ et tracer la dans le repère

 

4) Déterminer la distance de freinage  d'une voiture roulant a la vitesse de $50\;km/h$ 

 

On donne le polynôme

$$P(x)=-x^{3}-3x^{2}+6x+8$$

1) Vérifier que $2$ est une racine de $P(x).$ En déduire une factorisation de  $P(x).$

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes.

 

a) $P(x)=0\ $ et $\ P(x)>0$

 

b) $\ln 2+\ln(x^{2}+3x+4)=2\ln x+\ln(x+5)$

 

Partie A

 

Soit la fonction $g$ définie par :

$$g(x)=x^{2}+2x+7$$

1) Calculer $g'(x)$ et étudier ses variations 

 

2) Calculer $g(-1)$ et dresser le tableau de variations de $g$ (le calcul des limites n'est pas demandé)

 

3) En déduire que $g(x)>0$ pour tout réel $x$

 

Partie B

 

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=\dfrac{x^{2}+2x-5}{x+1}$$

1) Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$

 

2) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. En déduire une éventuelle asymptote a la courbe de $f$

 

3) Montrer que pour tout réel $x$ du domaine de $f\ ;$

$$f(x)=x+1-\dfrac{6}{x+1}$$

 

4) Montrer que ta droite $(D)$ d'équation $y=x+1$ est asymptote oblique à la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$ au voisinage $+\infty\ $ et de $\ -\infty$

 

5) Étudier les positions relatives de $(D)\ $ et $\ (\mathcal{C})$

 

6) Calculer $f'(x)$ et montrer que

$$f' (x)=\dfrac{g(x)}{(x+1)^{2}}$$

7) En déduire le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$

 

8) Dresser le tableau de variations de $f$

 

 

 

$$\text{Durée 3 heures}$$