Calcul dans D - 5e
Classe:
Cinquième
I. Addition dans $\mathbb{D}$
I.1. Règle de l'addition dans $\mathbb{D}$
En additionnant deux nombres décimaux dans $\mathbb{D}$
$-\ \ $ Si les nombres sont de même signe alors, on garde le signe puis on fait l'addition de leur valeur absolue.
Exemples :
$\ast\ \ $ Signe positif
$(+6,14)+(+17,98)=+24,12$
$\ast\ \ $ Signe négatif
$(-26,49)+(-60,39)=-86,88$
$-\ \ $ Si les nombres sont de signes contraires alors, on garde le signe de celui ayant la plus grande valeur absolue et on fait la soustraction des valeurs absolues.
Exercice d'application
$A=(+3,29)+(+7,47)=(+10,76)$
$B=(+36,75)+(-19,38)=(+17,37)$
$C=(+27,42)+(+29,34)=(+56,76)$
$D=(-54,6)+(-36,87)=(-91,47)$
$E=(+17,36)+(-15,2)+(-5,49)=(-3,33)$
I.2. Transformation d'une somme algébrique à un nombre décimal relatif
On donne :
$A=(+3,7)+(-10,2)-(-0,75)-(+3,9)-(+4,16)$
$B=-(-5,8)+(+4,16)-(+15,3)-(+4,16)-(-15,3)$
$C=-(+19,39)-(-9,39)+(+9,92)-(-0,08)$
Transformer les sommes algébriques en nombre décimal relatif :
On obtient :
$A=(+3,7)+(-10,2)-(-0,75)-(+3,9)-(+4,16)=(-13,81)$
$B=-(-5,8)+(+4,16)-(+15,3)-(+4,16)-(-15,3)=(+5,8)$
$C=-(+19,39)-(-9,39)+(+9,92)-(-0,08)=(0)$
Remarque
L'addition dans $\mathbb{D}$ est :
$-\ \ $ commutative : si $(\ a\ $ et $\ b\;)\in\mathbb{D}$ alors,
$$a+b=b+a$$
Exemple :
$(+3,5)+(+2,5)=(+2,5)+(+3,5)=6$
$-\ \ $ associative : $\forall\;(a\;,\ b\ \text{ et }\ c)\in\mathbb{D}$, on a :
$$(a+b)+c=a+(b+c)$$
Exemple :
$(5+3)+2=5+(3+2)=8+2=5+5=10$
$-\ \ $ zéro $(0)$ est l'élément neutre de l'addition : $\forall\;a\in\mathbb{D}$, on a :
$$a+0=a$$
Exemple :
$(+3,5)+(0)=3,5$
I.3. Termes simplifiés ou suppression des parenthèses
$-\ \ $ Si les parenthèses sont précédées d'un signe plus $(+)$, on peut supprimer le signe et les parenthèses à condition de ne pas changer les signes à l'intérieur de la parenthèse.
Exemples :
$+(+7,2-9-5,6+2)=+7,2-9-5,6+2$
$-\ \ $ Si les parenthèses sont précédées d'un signe moins $(-)$, on peut supprimer le signe et les parenthèses à condition de changer les signes entre parenthèses.
Exemples :
$-(+7,2-9-5,6+2)=-7,2+9+5,6-2$
Application
Donner les formes simplifiées des expressions suivantes puis calculer.
$A=-(-3-7-0,5+14,6)$
$B=+(-1+5-3,2+1,9)$
$C=+(+10-7,8+2,3-5,3)$
$D=-(-7,1+3,1+1,6-0,8)$
Solution
$A=-(-3-7-0,5+14,6)=+3+7+0,5-14,6=-4,1$
$B=+(-1+5-3,2+1,9)=-1+5-3,2+1,9=+2,7$
$C=+(+10-7,8+2,3-5,3)=+10-7,8+2,3-5,3=-0,8$
$D=-(-7,1+3,1+1,6-0,8)=+7,1-3,1-1,6+0,8=+3,2$
II. Multiplication et division dans $\mathbb{D}$
II.1. Signe d'un produit ou d'un quotient
Soit $a\ $ et $\ b$ deux nombres décimaux et $b$ non nul
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Signe de }a&\text{Signe de }b&\text{Signe de }a\times b&\text{Signe de }a\div b\\ \hline +&+&+&+\\ \hline +&-&-&-\\ \hline -&-&+&+\\ \hline -&+&-&-\\ \hline \end{array}$$
Remarque
Lors de la multiplication ou de la division de deux nombres de même signe, le signe du résultat est toujours positif.
Lors de la multiplication ou de la division de deux nombres de signes contraires, le signe du résultat est toujours négatif.
II.2. Propriétés de la multiplication dans $\mathbb{D}$
La multiplication a les mêmes propriétés que l'addition.
$-\ \ $ Son élément neutre est 1 ; c'est-à-dire $\forall\;a\in\mathbb{D}$, on a :
$$a\times 1=1\times a=a$$
$-\ \ 0$ est l'élément absorbant de la multiplication, $\forall\;a\in\mathbb{D}$, on a :
$$a\times 0=0\times a=0$$
$-\ \ $ La multiplication est distributive par rapport à l'addition, $\forall\;(a\;,\ b\ \text{ et }\ c)\in\mathbb{D}$, on a :
$$a\times(b+c)=ab+bc$$
Exemples :
$2\times(5+3)=(2\times 5)+(2\times 3)=10+6=16$
$-\ \ $ La multiplication est distributive par rapport à la soustraction, $\forall\;(a\;,\ b\ \text{ et }\ c)\in\mathbb{D}$, on a :
$$b\times(c-a)=bc-ba$$
Exemples :
$5\times(6-2)=(5\times 6)-(5\times 2)=30-10=20$
N.B :
$\ast\ \ $ Si on passe de 1 à 2, on dit qu'on a développé
$\ast\ \ $ Si on passe de la forme 2 à la forme 1, on dit qu'on a factorisé. Dans ce cas le facteur obtenu est appelé facteur commun.
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
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