BAC S SPECIALITE Calédonie mars 2008
PARTIE A : Question de cours
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.
PARTIE B
On note 0,1,2,…,9, α, β, les chiffres de l'écriture d'un nombre en base 12. Par exemple :
¯βα712=β×122+α×12+7=11×122+10×12+7=1711 en base 10
Soit N1 le nombre s'écrivant en base 12 :
[N1=¯β1α12]
Déterminer l'écriture de N1 en base 10.
Soit N2 le nombre s'écrivant en base 10 :
[N2=1131=1×103+1×102+3×10+1]
Déterminer l'écriture de N2 en base 12.
Dans toute la suite, un entier naturel N s'écrira de manière générale en base 12 :
[N=¯an⋯a1a012]
Démontrer que N≡a0(3). En déduire un critère de divisibilité par 3 d'un nombre écrit en base 12.
À l'aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.
Démontrer que N≡an+⋯+a1+a0(11). En déduire un critère de divisibilité par 11 d'un nombre écrit en base 12.
À l'aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.
Un nombre N s'écrit ¯x4y12. Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.
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