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Corrigé Bac Maths S2 1er groupe 2008

Classe:

Terminale

Exercice 1

1) a) On cherche a priori la solution imaginaire pure sous la forme

$Z_{0}=\mathrm{i}b\ (b\in\mathbb{R})$ , expression qu'on reporte dans l'équation. En écrivant que les parties réelle et imaginaire sont nulles, on obtient le système :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} -b^{3}+4b^{2}+12b-45&=&0\\ \\6b^{2}-21b+9&=&0\end{array}\right.$

Après calculs, on trouve

$Z_{0}=3\mathrm{i}.$

b) Le premier membre de l'équation s'écrit :

$P(Z)=(Z-3\mathrm{i})[Z^{2}-(6+\mathrm{i})Z+15+3\mathrm{i}]$

On trouve :

$Z_{1}=3+3\mathrm{i}\$ et

$\ Z_{2}=3-2\mathrm{i}.$

$\dfrac{Z_{A}-Z_{B}}{Z_{C}-Z_{B}}=-\dfrac{3}{5}\mathrm{i}\;,\ ABC$ est un triangle rectangle en

$B.$

3) a)

$f$ est de la forme

$Z\longmapsto aZ+b.$

On a :

$f(B)=B\$ et

$\ f(A)=C$

D'après a) on a :

$Z_{B}-Z_{A}=-\dfrac{3}{5}\mathrm{i}(Z_{B}-Z_{C}).$

Donc,

$a=\dfrac{5}{3}\mathrm{i}$

En outre,

$\dfrac{b}{1-a}=Z_{B}=3+\mathrm{i}\ \Rightarrow\ b=8-2\mathrm{i}$

Ainsi,

$f\ :\ Z\longmapsto\dfrac{5}{3}\mathrm{i}Z+8-2\mathrm{i}$

$f$ est la similitude directe de rapport

$\dfrac{5}{3}$ , d'angle

$\dfrac{\pi}{2}\$ et de centre

$B(3\;,\;3)$

Exercice 2

1) a) En dérivant, on trouve :

$h'=[(b-a)\cos x-(a-b)\sin x]\mathrm{e}^{-x}$

D'où :

$h'+h=(b\cos x-a\sin x)\mathrm{e}^{-x}$

On veut que :

$h'+h=\mathrm{e}^{-x}\cos x$ , d'où

$a=0\$ et

$\ b=1.$

Ainsi,

$h(x)=\sin x\mathrm{e}^{-x}$

$f$ est solution de

$(E)\Rightarrow f'+f=\mathrm{e}^{-x}\cos x$

Or, on a aussi

$h'+h=\mathrm{e}^{-x}\cos x$

D'où par différence,

$(f-h)'+(f-h)=0 \Rightarrow (f-h)$ est solution de

$E_{0}$

Réciproquement,

$(f-h)$ est solution de

$E_{0}$

$\Rightarrow (f-h)'+(f-h)=0$

$\Rightarrow f'+f=h'+h=\mathrm{e}^{-x}\cos x$

$\Rightarrow f$ est solution de

$(E)$

c) Les solutions de

$(E_{0})$ sont les fonctions

$y$ de la forme

$y=K\mathrm{e}^{-x}\;(K\in \mathbb{R}.$

d) Les solutions de

$(E)$ sont les fonctions

$y$ de la forme

$y=K+\sin x$ , car toute solution de

$(E)$ est d'après b), la somme de

$h$ et d'une solution de

$(E_{0}).$

On peut écrire,

$y=(K+\sin x)\mathrm{e}^{-x}$

$\begin{array}{rcl} g(0)=0&\Rightarrow&K=0\\&\Rightarrow&y=\sin x\mathrm{e}^{-x}\end{array}$

2) a)

$\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)$

$l'(x)=(\cos x-\sin x)\mathrm{e}^{-x}=\sqrt{2}\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)v^{-x}$

Posons

$u=x+\dfrac{\pi}{4}, x\in [0\;,\;2\pi] \Rightarrow u\in \left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{9\pi}{4}\right].$

Or dans cet intervalle (faire un schéma du cercle trigonométrique), on a :

$\begin{array}{rcl}\cos u>0&\Leftrightarrow&u\in\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{3\pi}{2}\;;\ \dfrac{9\pi}{4}\right]\\ \\&\Leftrightarrow&x\in \left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[ \cup \left]\dfrac{5\pi}{4}\;;\ 2\pi\right]\end{array}$

On en déduit le tableau de variation suivant :

$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&0&&\pi/4&&5\pi/4&&2\pi\\ \hline f'(x)&&+&|&-&|&+&\\ \hline&&&\tfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{\pi/4}&&&&0\\f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&0&&&&\tfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{e}^{5\pi/4}&&\\ \hline\end{array}$

c) On intègre une première fois par parties en posant :

$u(x)=e^{-x}\Rightarrow u'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$

$v'(x)=\sin x\Rightarrow v(x)=-\cos x$

On a alors,

$I=\left[-\mathrm{e}^{-x}\cos x\right]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\mathrm{e}^{-x}\cos x\mathrm{d}x$

Désignons par

$J$ cette dernière intégrale

$(\int_{0}^{2\pi}\mathrm{e}^{-x}\cos xdx)$ et intégrons une seconde fois par parties en posant :

$u(x)=e^{-x}\Rightarrow u'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$

$v'(x)=\cos x \Rightarrow v'x)=\sin x$

On a alors

$J=\left[e^{-x}\sin x\right]_{0}^{2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\mathrm{e}^{-x}\sin x\mathrm{d}x$

On reconnait

$I$ dans cette dernière intégrale.

Finalement

$I=\left[-\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-x}\sin x\right]_{0}^{2\pi}-I$

On en déduit que :

$\begin{array}{rcl} 2I&=&\left[-\mathrm{e}^{-x}(\cos x+\sin x)\right]_{0}^{2\pi}\\ \\&=&-\mathrm{e}^{-2\pi}+1\\ \\\Rightarrow\ I&=&\dfrac{1-\mathrm{e}^{-2\pi}}{2}\end{array}$

Exercice 3

A)1) Si la première boule tirée est verte, on la met dans

$U_{2}.$

Dans ce cas,

$U_{2}$ comporte maintenant

$5\;V\$ et

$\ 5\;J.$

On a par conséquent :

$p(V_{2}|V_{1})=\dfrac{5}{10}\Rightarrow p(V_{2}|V_{1})=\dfrac{1}{2}$

2) De même

$p(V_{2}|R_{1})=\dfrac{1}{11}$

3) Dressons un arbre pondéré de la situation

D'après la formule des probabilités totales,

$p(V_{2})=p(V_{2}|V_{1})p(V_{1})+p(V_{2}|R_{1})p(R_{1})$

Soit :

$p(V_{2})=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{11}\times \dfrac{2}{5}\Rightarrow p(V_{2})=\dfrac{37}{110}$

4) De manière analogue,

$\begin{array}{rcl} p(J_{2})&=&p(J_{2}|V_{1})p(V_{1}+p(J_{2}|R_{1})p(R_{1})\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{11}\times\dfrac{2}{5}\\ \\&=&\dfrac{53}{110}\end{array}$

On trouve

$\boxed{p(J_{2})=\dfrac{53}{110}}$

5) De manière analogue à la question 3), on a :

$\begin{array}{rcl} p(R_{2})&=&p(R_{2}|V_{1})p(V_{1}+p(R_{2}|R_{1})p(R_{1}\\ \\&=&0+\dfrac{5}{11}\times\dfrac{2}{5}\\ \\&=&\dfrac{2}{11}\end{array}$

On trouve :

$\boxed{p(R_{2})=\dfrac{2}{11}}$

B) 1) La loi de probabilité de

$X$ est donnée par le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X&1000&500&-500\\ \hline p(X)&\dfrac{37}{110}&\dfrac{53}{110}&\dfrac{2}{11}\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{rcl} E(X)&=&\sum x_{i}p_{i}\\ \\&=&\left(1000\times \dfrac{37}{110}\right)+\left(500\times \dfrac{53}{110}\right)-\left(500\times \dfrac{2}{11}\right)\\ \\&=&\dfrac{5350}{11}\end{array}$

Donc,

$\boxed{E(X)=\dfrac{5350}{11}}$

C) 1) On a affaire à un schéma de Bernoulli, la probabilité du succès étant

$p(E)=\dfrac{37}{110}$ et le nombre d'épreuves étant

$15.$

La probabilité d'avoir exactement

$8$ succès est :

$P_{8}=C_{15}^{8}\left(\dfrac{37}{110}\right)^{8}\left(\dfrac{73}{110}\right)^{8}$

2) C'est l'événement :

$SSSSSSSS EEEEEEE$

$(8$ succès consécutifs suivis de

$7$ échecs consécutifs).

Sa probabilité est :

$\begin{array}{rcl} p(S)^{8}\times p(E)^{7}&=&\left(\dfrac{37}{110}\right)^{8}\left(\dfrac{73}{110}\right)^{8}\\ \\&\simeq&9.3 10^{-6}\end{array}$

3) l'événement contraire est :

$P_{0}=C_{15}^{0}\left(\dfrac{37}{110}\right)^{0}\left(\dfrac{73}{110}\right)^{15}$

La probabilité cherchée est donc :

$\begin{array}{rcl} p&=&1-p_{0}\\ \\&=&1-\left(\dfrac{73}{110}\right)^{15}\\ \\&\simeq&0.997\end{array}$

Exercice 4

$G$ a pour coordonnées

$(\bar{x}\;,\ \bar{y})$ avec :

$\bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum x_{i}\simeq 5.28\quad\text{et}\quad\bar{y}=\dfrac{1}{N}\sum y_{i}\simeq 17.28$

3) a)

$\sigma_{xy}=\dfrac{1}{N}\sum x_{i}y_{i}-\bar{x}\times\bar{y}\simeq 50.63$

$\sigma_{x}=\sqrt{\dfrac{1}{N}\sum x_{i}^{2}-\bar{x}^{2}}\simeq 4.66\quad\text{et}\quad\sigma_{y}=\sqrt{\dfrac{1}{N}\sum y_{i}^{2}-\bar{y}^{2}}\simeq 11.39$

Le coefficient de corrélation linéaire est donné par la formule :

$r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\times\sigma_{y}}\simeq 0.99$

$r$ est très proche de

$1$ , donc on a une très bonne corrélation.

$D_{y/x}$ a pour équation :

$y-\bar{y}=a(x-\bar{x})$

avec

$a=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}$

Après calculs, on trouve qu'une équation de

$D_{y/x}$ est :

$y=2.5x+4.08$

5) a) D'après le graphique, on constate que les valeurs de

$y$ supérieures à

$15$ correspondent aux valeurs de

$x$ supérieures à

$4.368.$

On ainsi dire qu'à partir de

$5$ ans le poids de l'enfant sera supérieur à

$15\;kg.$

b) Pour retrouver ce résultat par le calcul, on considère l'équation

$D_{y/x}$ de la droite de régression de

$y$ en

$x.$

Soit

$(D_{y/x})\ :\ y=2.5x+4.08$ alors, on a :

$\begin{array}{rcrcl} y>15&\Leftrightarrow&2.5x+4.08&>&15\\ \\&\Leftrightarrow&2.5x&>&15-4.08\\ \\&\Leftrightarrow&x&>&\dfrac{10.92}{2.5}\\ \\&\Leftrightarrow&x&>&4.368\end{array}$

D'où,

$y>15\ \Leftrightarrow\ x>4.368$

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