Devoir n° 11 - TL

 

On portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline\text{Énoncés}&\text{Réponse a}&\text{Réponse b}&\text{Réponse c}\\ \hline 1)\ \dfrac{\ln 8}{\ln 4}=\ldots&\dfrac{3}{2}&\ln 2&2\\ \hline 2)\ \text{L'inéquation }\ln x-3\leq 0&&&\\\text{a pour ensemble}&]0\;,\ \mathrm{e}^{3}]&]0\;,\ \ln 3]&]-\infty\;,\ \mathrm{e}^{3}]\\\text{de solutions}&&&\\ \hline 3)\ \text{Soit la fonction }f\text{ définie par :}&&&\\f(x)=\dfrac{x-1}{\ln(x-1)}.\text{ Son domaine}&]0\;,\ +\infty[&]1\;,\ 2[\cup[2\;,\ +\infty[&]1\;,\ +\infty[\\\text{de définition est :}&&&\\ \hline 4)\ \text{Soit la fonction }g\text{ définie par :}&&&\\g(x)=\mathrm{e}^{-2x}+2x+3.\text{ L'expression}&\mathrm{e}^{-2x}+2&2(\mathrm{e}^{-2x}+1)&2(1-\mathrm{e}^{-2x})\\\text{de sa dérivée est :}&&&\\ \hline 5)\ \text{Un candidat doit passer deux}&&&\\\text{concours }C_{1}\text{ et }C_{2}.\text{ Ces deux}&&&\\\text{concours sont indépendants.}&&&\\ \text{Il a une chance sur trois de}&&&\\\text{réussir le concours }C_{1}\text{ et une}&\dfrac{8}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{7}{9}\\ \text{chance sur trois de réussir}&&&\\ \text{le concours }C_{2}.&&&\\ \text{La probabilité de réussir au}&&&\\\text{moins un concours est :}&&&\\ \hline\end{array}$$

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=1$ et pour tout entier naturel $n\;,$

$$u_{n+1}=\dfrac{2}{5}u_{n}+3$$

1) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}.$

 

2) $(v_{n})$ est la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par :

$$v_{n}=u_{n}-5$$

a) Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}.$

 

b) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n.$

 

3) En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n.$

 

4) On note : $S_{n}=v_{0}+v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{n}$

 

Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n.$

 

A) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :

$$-x^{2}+x\geq 0$$

B) On donne la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=(x^{2}+x+1)\mathrm{e}^{-x}$$

et $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ Unité graphique $1\;cm$

 

1) Montrer que le domaine de définition de $f$ est $\mathbb{R}.$

 

2) Montrer que pour tout $x$ réel :

$$(x^{2}+x+1)\mathrm{e}^{-x}=x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)\mathrm{e}^{-x}$$

3) Déduire de la question 2) la limite de $f$ en $+\infty.$

 

4) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty.$

 

5) Montrer que pour tout réel $x$

$$f'(x)=(-x^{2}+x)\mathrm{e}^{-x}$$

6) Déduire de A) le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f.$

 

7) Tracer $(\mathcal{C})$ en mettant en évidence les résultats précédents.

 

8) Montrer que la fonction $F$ définie par :

$$F(x)=(-x^{2}-3x-4)\mathrm{e}^{-x}$$

sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}.$

 

9) Calculer l'aire du domaine délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives : $x=0\ $ et $\ s=4.$

 

 

$$\text{Durée 3 heures}$$