Bac Maths, S spécialité Amérique du Sud novembre 2005

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\vec{u}~;~\vec{v}\right)$.

On prendra pour unité graphique $4\,cm.$

On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $a,~ b,~c$ et $d$ telles que :

$$a = \text{i},\qquad    b = 1 + 2\text{i},\qquad    c = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\tfrac{\pi}{4}},\quad \text{et} \quad      d = 3+2\text{i}.$$

On considère la similitude directe $s$ qui transforme $A$ en $B$ et $C$ en $D.$

Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M'$, d'affixe $z'$, son image par $s.$

Exprimer $z'$ en fonction de $z.$

Déterminer les éléments caractéristiques de $s$.

Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite numérique définie par : $$\left\{\begin{array}{l c l} U_{0}& =&0\\ U_{n+1}&    =& 2U_{n} +1\quad \text{pour tout}~ n \in\mathbb{N}\\ \end{array}\right.$$

Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ U_{n+1}$ et $U_{n}$ sont premiers entre eux.

Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude $s$, les termes de la suite $\left(U_{n}\right)$.

Montrer que pour tout entier naturel $n, U_{n} = 2^n  - 1$.

Montrer que, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ non nuls tels que $n \geqslant  p$,

$$U_{n} = U_{p} \left(U_{n-p} +1\right) + U_{n-p}.$$

La notation pgcd$(a~;~b)$ est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels $a$ et $b$ .

Montrer pour $n \geqslant  p$ l'égalité
$$\text{pgcd}\left(U_{n}~,U_{p}\right) = \text{pgcd}\left(U_{p},~U_{n-p}\right).$$

Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls, montrer que :
$$\text{pgcd}\left(U_{n},~U_{p}\right) =  U_{\text{pgcd}(n~;~p)}.$$

Déterminer le nombre : $pgcd\left(U_{2005},~U_{15}\right).$