Bac Maths T1-T2 1er groupe 2020

 

Une entreprise commerciale dispose de $12$ guichets. Une enquête portant sur le nombre de guichets ouverts $x$ et la durée moyenne d'attente $y$ en minutes a donné les résultats présentés dans le tableau ci-dessous.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&3&4&5&6&8&10\\ \hline y&20&18&14&12&9&6\\ \hline\end{array}$$

N.B : Les résultats des calculs seront donnés sous forme décimale à $10^{-2}$ près.

 

1) Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal avec en abscisse, $1\;cm$ correspondant à $1$ guichet et en ordonnée, $1\;cm$ correspondant à $2$ minutes.$\qquad(0.75\,pt)$

 

2) Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ puis le placer.$\qquad(0.5+0.25)\,pt$

 

3) Calculer le coefficient de corrélation linéaire. Interpréter le résultat.$\qquad(1+0.25)\,pts$

 

4) a)Déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.$\qquad(0.75\,pt)$

 

b) Tracer cette droite.$\qquad(0.5\,pt)$

 

5) Estimer le temps moyen d'attente à la caisse lorsque tous les guichets sont ouverts.$\qquad(0.75\,pt)$

 

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, on considère les points $$A(1\;;\ -1\;;\ 0)\;,\ B(0\;;\ 1\;;\ 2)\ \text{ et }\ C(1\;;\ 2\;;\ -2)$$

1) a) Montrer que les points $A\;,\ B\ $ et $\ C$ déterminent un plan noté $(P).\qquad(0.5\,pt)$

 

b) Déterminer une équation cartésienne de $(P).\qquad(01\,pt)$

 

c) Déterminer un système d'équations paramétriques de $(P).\qquad(0.5\,pt)$

 

2) On considère le plan $(Q)$ d'équation : $x-y+z-1=0.$

 

a) Montrer que les plans $(P)\ $ et $\ (Q)$ ne sont pas parallèles.$\qquad(0.5\,pt)$

 

b) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(D)$ intersection des plans $(P)\ $ et $\ (Q).\qquad(0.5\,pt)$

 

3) Soit $G$ le barycentre du système $\{(A\;;\ 2)\;,\ (B\;;\ -3)\}\ $ et $\ H$ celui du système $\{(A\;;\ 5)\;,\ (B\;;\ -4)\}.$

 

a) Calculer les coordonnées de $G$ et de $H.\qquad(0.25+0.25)\,pt$

 

b) Déterminer l'ensemble $(\Pi)$ des points $M$ de l'espace tel que :

$$\|2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}\|=\|5\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}\|\qquad\quad(0.5\,pt)$$

c) Déterminer une équation cartésienne de $(\Pi).\qquad(0.5\,pt)$

 

4) Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ de l'espace tel que :

$$2MA^{2}-3MB^{2}=-70\qquad\quad(0.5\,pt)$$

Soit $f$ la fonction numérique à variable réelle définie par :

$$f(x)=\mathrm{e}^{-2x}-2\mathrm{e}^{-x}-1$$

et $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ $(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1\;cm)$

 

1) Calculer :

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)\ \text{ et }\ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\qquad\quad(0.5+0.5)\,pt$$

2) Déterminer les branches infinies de $(C).\qquad(01\,pt)$

 

3) Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x.\qquad(01\,pt)$

 

4) Dresser le tableau de variation de $f.\qquad(01\,pt)$

 

5) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\lambda$ et que $-0.9<\lambda<-0.8\qquad(01+0.5)\,pt$

 

6) Tracer $(C).\qquad(02\,pts)$

 

7) Soit $\alpha$ un nombre réel strictement positif.

 

a) Calculer en $cm^{2}$ l'aire $A(\alpha)$ du domaine délimité par $(C)$ et les droites d'équations $y=-1\;,\ x=0\ $ et $\ x=\alpha\qquad\quad(01.5\,pts)$

 

b) Calculer

$$\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}A(\alpha)\qquad\quad(0.5\,pt)$$

Interpréter graphiquement ce résultat.$\qquad(0.5\,pt)$