Bac maths, S1 Gabon août 2020
Exercice 1 (5 points)
Question à choix multiples
Pour chacune des questions, une seul des quatre propositions est exacte.
Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Exemple :
question 1.a Réponse A et 1.b Réponse C.
Une bonne réponse rapporte 1 pt (0.5 pt+0.5 pt), une mauvaise réponse fait perdre 0.25 point, l'absence de réponse ne donne droit à aucun point et n'en fait perdre aucun ; si le total des points est négatif, la note à cet exercice est ramenée à zéro.
1. On note (C) la courbe représentative dans un repère orthonormal de la fonction f définie sur K=[1 ; +∞[ par :
f(x)=x2+xlnxx+1
f(x)=x2+xlnxx+1
a. laquelle des affirmations suivantes est correcte ?
Réponse ARéponse B(C) admet une(C) admet uneasymptode obliquebranche paraboliqueRéponse CRéponse D(C) admet une(C) admet uneasymptote verticalasymptode horizontale
b. Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?
Réponse ARéponse BRéponse CRéponse Df est strictementf n'est pasf est strictementdécroissante sur Kf est constant kstrictement monotonecroissante sur Ksur k
2. Soient A(1 ; −1 ; 0), B(3 ; 0 ; 1), C(1 ; 2 ; −1), D(1 ; 0 ; 0) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O, →i, →j, →k) alors :
a. |(→AB∧→AC)⋅→AD| est égal à :
Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D251352
b. Une équation cartésienne du plan (ABC) est :
Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D2x−y−3z−3=02x+y+3z−3=02x−y−3z+3=0Aucune desréponses n'est juste
3. Soit z un nombre complexe non nul d'argument θ.
On pose : Z=−i+√32¯Z
a. Un argument de Z est alors :
Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D−π6+θ−π6−θπ6−θπ6+θ
b. Le conjugué de Z est alors :
Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D¯Z=(−i−√32)¯Z¯Z=(i−√32)Z¯Z=(i+√32)Z¯Z=(i−√32)¯Z
4. La courbe ci-dessous est la courbe (C) représentative d'une fonction f dérivable sur I

a. Laquelle des quatre courbes ci-dessous représente une primitive F de la fonction f sur I :

Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D(C3)(C4)(C2)(C1)
b. Laquelle des affirmations suivantes est correcte
Réponse ARéponse BRéponse CRéponse DF′(0)=1F′(0)=0F′(0)=−2F′(0)=2
5. On désigne par A et B deux événements d'un univers muni d'une probabilité p.
On sait que p(A∪B)=78 et p(¯B)=58.
a. Si A et B sont indépendant alors la probabilité de l'événement A est égale à :
Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D581812Aucune desréponses n'est juste
a. Si A et B sont incompatible alors la probabilité de l'événement A est égale à :
Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D581812Aucune desréponses n'est juste
Exercice 2 Arithmétique - Congruences et critères de divisibilité 3 points
1 on considère l'équation (E) : 5x+3y=16 où x et y sont des entiers naturels.
a. Justifier que l'équation 5x+3y=1 admet au moins une solution
b. Déterminer une solution de l'équation 5x+3y=1, en déduire une solution particulière de (E).
c. Résoudre alors N2 l'équation (E).
2. ELLA Paul est un candidat de terminale C, il a passé les épreuves du second tour en mathématiques (Coefficient 5) et en philosophie ( coefficient 3).
Il a obtenu la note de 08/20 dans les deux disciplines au premiers tour.
Pour être déclaré admis au second tour (avoir 10/20), il lui faut rattraper 16 points.
On désigne par 8+x sa note à l'oral de mathématiques et 8+y celle obtenue à l'oral de philosophie où x et y sont des entiers naturels.
A l'aide de la question précédente, déterminer toutes les notes possibles d'ELLA Paul en mathématiques et en philosophie pour qu'il obtiennent exactement 10/20 au second tour.
Exercice 3 Similitude directes du plan 3 points
On considère dans le plan orienté un triangle rectangle ABC tel que :
Ab=2AC et (→AB, →AC)=π2[2π]
On désigne par I le milieu de [AB] et J un point tel que A soit milieu de [CJ].
1. Faire une figure soignée que l'on complétera au fur et à mesure.
2. a. Justifier qu'il existe une unique similitude directe S du plan qui transforme I en C et A en J.
b. Déterminer le rapport et l'angle de la similitude S
3. Considérons les cercles (C1) et (C2) respectivement de diamètre [IC] et [AJ]
a. Montrer que le cercle Ω de S appartient à (C1)∩(C2)
b. Déterminer et construire alors Ω.
4. La droite (Δ1) est la tangente à (C1) au point C, la droite (Δ2) est la tangente à (C2) au point J.
a. Démontrer que S(C)=K où K est le point d'intersection de (Δ1) et (Δ2)
b. Place le point L, image de B par S, on expliquera la construction.
Exercice 4 Étude d'une suite numérique 5 point
L'objectif de cet exercice est d'étudier une suite (xn) dont les termes sont définis comme les solutions d'équations fn(x)=0, où fn est une famille de fonctions définies pour tout entier naturel n.
Partie A
Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par g(x)=x−lnx.
1. Justifier que la fonction g est strictement croissante sur [1 ; +∞[.
2. a. En utilisant g(1), justifier clairement le signe de g(x) pour x élément de [1 ; +∞[.
b. En déduire que pour tout entier naturel n≥1, √n≥ln√n.
Partie B
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie sur ]1 ; +∞[ par :
fn(x)=n(x−1)+ln(x−1)
fn(x)=n(x−1)+ln(x−1)
On note f′n la fonction dérivée de la fonction fn.
1. a. Calculer f′n(x) puis justifier que fn est strictement croissante sur ]1 ; +∞[
b. Calculer les limites de fn en +∞ et en 1.
c. En déduire que, pour tout entier naturel n, l'équation fn(x)=0 admet une solution xn dans l'intervalle ]1 ; +∞[
2. Justifier que x0=2.
3. Soit n un entier naturel.
a. Montrer que pour tout x appartenant à ]1 ; +∞[ on a :
fn+1(x)−fn(x)=x−1, puis que :
fn+1(x)>fn(x)
b. En déduire que fn+1(xn)>0.
c. En utilisant le sens de variation de fn+1, montrer que la suite (xn) est décroissante.
En déduire que la suite (xn) converge.
4. a. En utilisant la question 2. b. de la partie A, démontrer que pour tout entier naturel n≥1
fn(1+1√n)>0
fn(1+1√n)>0
b. En déduire que pour tout entier naturel n≥1
1<xn≤1+1√n
1<xn≤1+1√n
c. Démontrer la limite de la suite (xn).
Exercice 5 Intégrale et suites numériques 4 points
1. Soit f la fonction définie sur R par :
f(x)=x2e1−x.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i, →j) d'unité graphique 2cm.
a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞.
En déduire une conséquence graphique pour la courbe (C) dans le cas de la limite de f en +∞
b. Justifier que f est dérivable sur R et déterminer sa fonction dérivée f′.
c. Dresser le tableau de variation de f et tracer la courbe (C).
2. Soit n un entier naturel non nul.
On considère l'intégrale In définie par : In=∫10xne1−xdx.
a. A l'aide d'une intégration par partie, établir une relation entre In+1 et In.
b. Calculer I1 et I2.
c. Donner une intégration graphique de I2.
On fera apparaitre sur le graphique de la question 1. c.
3. a. Démontrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul n, on a l'inégalité suivante :
xn≤xne1−x≤xne
b. En déduire un encadrement de In puis la limite de In quand n tend vers +∞.
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