BAC S SPECIALITE Asie juin 2005

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Le but de cet exercice est d'étudier les similitudes directes qui transforment l'ensemble S1 des sommets d'un carré C1 donné  en l'ensemble S2 des sommets d'un carré C2 donné.

 Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct R= (O ; u ; v), unité graphique 2 cm.

 On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H d'affixes respectives
 i2, 1i2, 1+i2, i2, 1i, 3i, 3+i, 1+i.            

 C1 est le carré de sommets A, B,  C, D et de centre O1,~C2 est le carré de sommet E, F G, H de centre O2.
S1 est donc l'ensemble \{A, B, C, D\} et S2 l'ensemble \{E,  F, G, H\}.


 Placer tous les points dans le repère R, construire les carrés C1 et C2.

 Soit h l'homothétie de centre Ω d'affixe 1 et de rapport 2. Donner l'écriture complexe de h et prouver que h transforme S1 en S2.

 Soit s une similitude directe qui transforme S1 en S2 et soit g la transformation ~g=h1s.

    
         Quel est le rapport de la similitude s ?

         Prouver que g est une isométrie qui laisse S1 globalement invariant.

         Démontrer que g(O1)=O1.

         En déduire que g est l'une des transformations suivantes : l'identité, la rotation r1 de centre O1 et d'angle π2, la rotation r2 de centre O1 et d'angle π, la rotation r3 de centre O1 et d'angle π2.

         En déduire les quatre similitudes directes qui transforment S1 en S2.

    

 \' Etude des centres de ces similitudes.

Déterminer les écritures complexes de hr1, hr2, hr3.

 En déduire les centres Ω1, Ω2, Ω3  de ces similitudes et les placer sur le dessin.



 

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