Bac Maths D, Cameroun 2018
Exercice 1
1. On considère a et b deux réels, avec a non nul.
Démontrer que les fonctions de la forme x↦Ceax−ba où c est un réel, sont de solutions de l'équation différentielles : y′=ay+b (E) (on admettra par la suite que ce sont les seules).
2. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
a) Affirmation 1 :
Si une fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels R est solution de l'équation différentielle y′+3y=6, alors la courbe représentant f admet une asymptote horizontale en +∞
b) Affirmation 2 :
Si une fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels R est solution de l'équation différentielle y′=y, alors pour tous réels α et β :
f(α+β)=f(α)×f(β)
c) Affirmation 3 :
La courbe d'une fonction solution de l'équation différentielle y′=−2y coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3/2 (voir figure ci-dessous).
L'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations respectives x=0 et xln3 est 3/2
Exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O, →OI, →OJ).
On considère les points A et B d'affixes respectives : zA=2 et zB=32+i
On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.
On note S1 la similitude directe de centre A qui transforme M en B.
On note S2 la similitude directe de centre O qui transforme B en N.
Le but de cet exercice est de démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
1) Donner l'angle et le rapport de S1 et S2.
2) a) En utilisant les résultats de la question 1) donner les écritures complexes de S1 et S2.
b) En déduire les affixes zM et zN des points M et N.
c) Donner par lecture graphique, l'affixe zP du point P, puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
Exercice 3 : Problème
On considère la fonction numérique f définie sur R par : f(x)=2x+1−xex−1
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, →i, →j).
A. Étude de la fonction f et construction de la courbe (C)
1. Étudier la limite de la fonction f en −∞ puis en +∞
(On poura écrire xex−1=1exex)
2. Démontrer que la droite Δ d'équation y=2x+1 est asymptote à la courbe (C) en −∞ et préciser la position de la courbe (C) par rapport à la droite Δ.
3. a) Calculer la dérivée f′ et la dérivée seconde f″ de f.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites de la fonction f′ en −∞ et en +∞.
c) Calculer f′(1) et en déduire le signe de f′ pour tout réel x.
d) Dresser le tableau de variation de la fonction f
4. Soit I l'intervalle [1, 9, 2].
Démontrer que sur I, l'équation f(x)=0 a une solution unique α.
5. Tracer la droite Δ et la courbe (C) (unité graphique : 2cm).
B. Recherche d'une approximation de α.
On considère la fonction g définie sur l'intervalle I par : g(x)=1+ln(2+1x)
1. Démontrer que, sur I, l'équation f(x)=0 équivaut à l'équation g(x)=x.
2. Étudier le sens de variation de la fonction g sur I et démontrer que, pour tout x appartenant à I, g(x) appartient à I.
3. Démontrer que, pour tout x de l'intervalle I, g(x)≤19
4. Soit (Un) la suite des nombres réels définie par : U0=2 et pour tout n, Un+1=g(Un).
On déduit de la question B.2. que tous les termes de cette suite appartiennent à l'intervalle
I. On ne demande pas de le démontrer.
a) Démontrer que, pour tout n, |Un+1−α|≤19|Un−α|
b) En déduire, en raisonnant par récurrence, que : pour tout n de N
|Un−α|≤(19)n×110
d) En déduire que la suite (Un) converge et préciser sa limite.
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