ADS - Circulation aérienne - Epreuve de Sciences physiques - 2019

 

Soit une courbe plane $(C)$ d'équation $\rho=f(\theta)$ en coordonnées polaires. Le couple $(\rho\;,\ \theta)$ sont les coordonnées polaires d'un point $M$ de coordonnées $(x\;,\ y)$ du plan.

 

1) En utilisant la formule du rayon de courbure

$$R=\dfrac{\left|\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right|^{3}}{\left\|\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\wedge\dfrac{\mathrm{d}^{2}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t^{2}}\right\|}$$

avec $s$ l'abscisse curviligne de $(C)$, montrer que le rayon de courbure en $M(\theta)$ est :

$$R=\dfrac{(\rho^{2}+\rho'^{2})^{\tfrac{3}{2}}}{|\rho^{2}+2\rho'^{2}-\rho\rho''|}$$

2) Déterminer les coordonnées cartésiennes du centre de courbure $I$ à l'origine de la courbe $(C)$ d'équation polaire

$$\rho=\dfrac{\sin\theta-2\cos\theta}{1+\cos^{3}\theta}$$

 

On considère le circuit suivant composé de deux résistances $R_{1}=5\;\Omega\;,\ R_{2}=3\;\Omega$ et de deux inductances $L_{1}=5\;H\;,\ L_{2}=4\;H.$

 

On donne : $V_{1}=50\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)\;,\ V_{2}=50\sin(\omega t)$

 

 

 

En utilisant le théorème de superposition, déterminer le courant $I.$

 

Un cerceau $\mathcal{C}$ de centre $A$ et de rayon $a$ dont le plan est perpendiculaire au plan $P=(O\;,\ \vec{i}_{0}\;,\ \vec{j}_{0})$ se déplace sur ce plan supposé horizontal. Soit $I_{G}$ le point de contact du cerceau avec $P.$ L'axe du cerceau reste parallèle à l'axe $(OI_{G})$ ; il rencontre $(O\;,\ \vec{k}_{0})$ au point $H.$ Le point de contact $I_{G}$ décrit un cercle de rayon $R$ avec une vitesse angulaire $\omega$ constante. L'angle variable $\theta$ caractérise la rotation propre du cerceau autour de son axe.

 

On désigne par $R_{0}=(O\;,\ \vec{i}_{0}\;,\ \vec{j}_{0}\;,\ \vec{k}_{0})$ le repère fixe lié à $P\;,\ R_{1}=(A\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\;,\ \vec{k}_{0})$ un repère intermédiaire avec $\vec{u}$ le vecteur unitaire porté par $\overrightarrow{OI}_{G}\;,\ \vec{v}$ le vecteur qui lui est directement perpendiculaire et restant dans le plan $(P).$

 

Soient $I_{1}\;,\ I_{2}\ $ et $\ I_{G}$ les points de contacts entre le cerceau et le plan $(P)$ tels que $I_{1}\in(\mathcal{C})\;,\ I_{2}\in(P)\ $ et $\ I_{G}$ le point géométrique.

 

1) Faire un schéma

 

2) Déterminer les vecteurs vitesses instantanées de rotation $\vec{\Omega}(\mathcal{C}/R_{1})\;,\ \vec{\Omega}(R_{1}/R_{0})$ puis en déduire $\vec{\Omega}(\mathcal{C}/R_{0}).$

 

3) Calculer la vitesse $\vec{V}(A/R_{0})$

 

4) Calculer l'accélération $\vec{\gamma}(A/R_{0})$

 

5) Calculer la vitesse $\vec{V}(I_{1}/R_{0}).$ Lorsque cette vitesse est nulle, on dit que le solide $\mathcal{C}$ roule sans glisser sur le plan $(P).$ En déduire alors la condition du roulement sans glissement.

 

Indication : Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base $(\vec{u}\;,\ \vec{v}\;,\ \vec{k}_{0})$

 

$$\text{Durée 4 heures}$$