ESP - Epreuve de Mathématiques - 2013

 

Pour $n\in\mathbb{N}$, soit la fonction $F_{n}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par :

$$F_{n}(t)=\int_{0}^{t}x^{n}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x$$

i) Calculer $F_{0}(t)\ $ et $\ I_{0}=\lim_{t\rightarrow +\infty}F_{0}(t)$

 

ii) Exprimer $F_{n}(t)$ en fonction de $F_{n-1}(t)$

 

iii) Démontrer par récurrence que

$$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\ :\ I_{n}=\lim_{t\rightarrow +\infty}F_{n}(t)\ \text{ existe et }\ I_{n}=nI_{n-1}$$

iv) Calculer $I_{6}$

 

On considère le système d'équations linéaires à plusieurs inconnues, avec $a\ $ et $\ b$ des paramètres réels

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+ay+a^{2}z+a^{3}t&=&-a^{4}\\x+by+b^{2}z+b^{3}t&=&-b^{4}\\y+2az+3a^{2}t&=&-4a^{3}\\y+2bz+3b^{2}t&=&-4b^{3}\end{array}\right.$$

1) Écrire ce système sous forme matricielle $AX=B$

 

2) Résoudre ce système en discutant suivant les valeurs des paramètres.

 

3) Donner le rang $r$ de la matrice $A$ et la dimension $d=q-r$ de l'espace des solutions ($q$est le nombre d'inconnues)

 

4) Déterminer l'espace des solutions de l'équation sans second membre associée $AX=0$

 

Soit

$$P(X)=(X+1)^{7}-X^{7}-1$$

a) Déterminer le degré de $P.$

 

b) Montrer que $P$ a au moins deux zéros réels entiers. En déduire leur ordre de multiplicité.

 

c) La factorisation de $P(X)$ en éléments irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ est

$$P(X)=7X(X+1)(X^{2}+X+1)^{2}$$

Décomposer $R(X)=\dfrac{7}{P(X)}$ en éléments simples de $\mathbb{R}[X].$

 

On désigne par $A$ la matrice carrée

$$A=\left[\begin{array}{ccc} 1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right]$$

$n$ est un entier strictement positif ; on note $X_{n}\;,\ Y_{n}\ $ et $\ Z_{n}$ respectivement les trois matrices colonnes de $A^{n}$ ; on pose alors

$$X_{n}=\begin{pmatrix}\alpha_{n}\\ \beta_{n}\\ \gamma_{n}\end{pmatrix}$$

1) On pose $A=I+B\;,\ I$ étant la matrice unité

 

$$I=\left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$$

 

Calculer $B^{3}$ et montrer que l'on a

$$A^{3}=3A^{2}-3A$$

2) Démontrer l'existence et l'unicité des suites numériques $(\lambda_{n})\ $ et $\ (\mu_{n})$ telles que, pour tout $n$ strictement positif, soit vérifiée la relation

$$A^{n}=\lambda_{n}A^{2}-\mu_{n}A$$

Indication : on peut utiliser la division euclidienne du polynôme $X^{n}$ par $aX^{3}-bX^{2}+cX$ où $a\;,\ b\ $ et $\ c$ sont connus.

 

Exprimer $\lambda_{n+1}\ $ et $\ \mu_{n+1}$ en fonction de $\lambda_{n}\ $ et $\ \mu_{n}$ ;

 

Donner le tableau des valeurs numériques des $\lambda_{n}\ $ et $\ \mu_{n}$ pour $n\leq 8.$

 

Démontrer que les suites numériques $(\lambda_{n})\ $ et $\ (\mu_{n})$ sont solutions de l'équation $(E)$ ci-après, où l'inconnue est une suite numérique $(S_{n})\ :$

$$(E)\ :\ S_{n+2}-3S_{n+1}+3S_{n}=0$$

Comparer $A^{7}\ $ et $\ A$ et, pour $n$ strictement positif $A^{n+6}\ $ et $\ A^{n}$ ;

 

Comment peut-on ramener le calcul de $A^{n}$ à celui des puissances de $A$ jusqu'à $A^{6}\ ?$

 

4) Montrer que les suites de matrices $(X_{n})\;,\ (Y_{n})\ $ et $\ (Z_{n})$ vérifient l'équation $(E')$ dans laquelle la suite inconnue $(S_{n})$ est une suite de matrices à trois lignes et une colonne :

$$(E')\ :\ S_{n+2}-3S_{n+1}+3S_{n}=0$$

5) Montrer que l'on a :

$$Y_{n}=X_{n+1}-X_{n}=\dfrac{1}{3}X_{n+2}\quad\text{et}\quad Z_{n}=\dfrac{1}{9}X_{n+4}$$

En déduire l'expression de $A^{n}$ en fonction des éléments de $X_{n}\;,\ X_{n+2}\ $ et $\ X_{n+4}$

 

$$\text{Durée 4 heures}$$