ESP - Epreuve de Mathématiques - 2011

 

Etude du sous ensemble $C$ de $\mathbb{R}^{2}$ définie par :

$$C=\left\lbrace(x\;,\ y)\in\mathbb{R}^{2}\;,\ y=x\exp\left(\dfrac{16}{3+2y}\right)\right\rbrace$$

On admet que $C$ est une courbe et qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que $C$ ait une équation

 

$$y=\varphi(x)\quad(y\text{ est fonction implicite de }x)$$

 

a) Montrer qu'on peut se limiter aux couples $(x\;,\ y)\in\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}^{+}$

 

b) Montrer que si $x\neq 0\;,\ \dfrac{y}{x}$ est borné

 

c) En déduire $\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)$, et faire une étude locale de la fonction $\varphi$ en $0.$

 

d) Déterminer $\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)$, et montrer que $C$ admet une asymptote oblique d'équation $y=x$

 

Pour tout entier non nul, on pose

$$I_{n}=\int_{0}^{1}(1-t^{2})^{n}\mathrm{d}t\quad\text{ et }\quad J_{n}=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\mathrm{d}x$$

1) a) Déterminer une relation de récurrence entre $I_{n}\ $ et $\ I_{n-1}\;;\ J_{n}\ $ et $\ J_{n-1}.$

 

b) En déduire l'expression de :

$$I_{n}=\dfrac{2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}\;,\ \forall\;n\geq 1\quad\text{et}\quad J_{n}=\dfrac{\pi(2n-1)!}{2^{2n}n!(n-1)!}\;,\ \forall\;n\geq 1$$

2) Montrer que pour tout entier $n$ non nul,

$$J_{n+1}\leq I_{n}\leq J_{n}$$

3) En déduire un équivalent au voisinage de l'infini de $I_{n}.$

 

4) Soit $a>0.$ Pour tout entier $n$ non nul, on pose

$$K_{n}(a)=\int_{0}^{a}x^{n}\left(2-\dfrac{x}{a}\right)^{n}\mathrm{d}x$$

Déterminer $K_{n}(a).$

 

A) Calculer

$$I=\int_{0}^{1}\dfrac{(x+3)}{(x+1)^{7}(x^{2}+2x+2)}\mathrm{d}x$$

B) On suppose que le trinôme $x^{2}+px+q$ a deux racines réelles $\alpha\ $ et $\ \beta.$ Soit $I$ un intervalle ne contenant pas $\alpha\ $ et $\ \beta.$

 

Comment doit-on choisir les nombres réels $a\;,\ b\;,\ p\;,\ q$ pour que les primitives sur $I$ de $g(x)=\dfrac{x^{2}+ax+b}{(x^{2}+px+q)^{2}}$ soit des fractions rationnelles ?

 

C) On donne la matrice $A$ dans laquelle $x\;,\ y\ $ et $\ z$ sont des paramètres réels

$$A=\left[\begin{array}{cc} z-y&-\dfrac{x+y}{2}\\ \\0&z-2x\end{array}\right]$$

On demande de déterminer $x\;,\ y\ $ et $\ z$ de sorte que :

$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 2&3\\0&1\end{array}\right]$$

D) Discuter et résoudre le système :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&2a+1\\ax-ay-2z&=&0\\ax+2ay+a^{2}z&=&4a^{2}-1\end{array}\right.$$

où $a$ est un paramètre réel.

 

1) Selon la théorie des vagues en eaux peu profondes, les particules d'eau situées à la surface de la mer et participant à la propagation des vagues de période $T$ sont animées d'une vitesse dont les composantes horizontale et verticale sont décrites respectivement par

 

$$u(t)=U\sin(\omega t)\quad\text{et}\quad v(t)=\dfrac{2\pi HU}{\lambda}\cos(\omega t)$$

 

où, $t$ désigne le temps, où $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ est une constante caractérisant la pulsation des vagues et où $U\;,\ H\ $ et $\ \lambda$ sont des constantes strictement positives décrivant respectivement la vitesse horizontale maximale, la profondeur d'onde des vagues.

 

1) Déterminer le déplacement horizontal $x(t)$ des particules en fonction du temps sachant que celui-ci est donné par

$$x(t)=\int u(t)\mathrm{d}t$$

2) Déterminer la hauteur des vagues $z(t)$ en fonction du temps sachant que celle-ci vérifie

$$z'(t)=v(t)\quad\text{et}\quad\int_{0}^{T}z(t)\mathrm{d}t=0\quad\text{où }\ T=\dfrac{2\pi}{\omega}$$

3) Calculer l'énergie cinétique moyenne (la moyenne $v$ de la vitesse est négligée)

$$E_{cin}=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\dfrac{1}{2}\rho u^{2}(t)\mathrm{d}t=0$$

où $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ et où $\rho$ désigne la masse par unité de volume de l'eau.

 

4) On considère maintenant le cas où

$$u(t)=U_{1}\sin(\omega t)+U_{2}\sin(4\omega t)\quad\text{où }\ T=\dfrac{2\pi}{\omega}$$

(où $U_{1}\ $ et $\ U_{2}$ sont des constates). Ceci traduit la présence simultanée de vagues de périodes $T\ $ et $\ \dfrac{T}{4}.$

 

Montrer que l'énergie cinétique moyenne correspondante est égale à la somme des énergies cinétiques moyennes associées aux deux composantes $U_{1}\sin(\omega t)\ $ et $\ U_{2}\sin(4\omega t)$ considérées séparément.

 

 

$$\text{Durée 4 heures}$$