Bac Maths D, Gabon 2019

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des cinq questions, une seule des trois réponses est exacte.  

Aucune justification n'est demandée.

Pour chaque réponse, vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et le code $(A$, $B$ ou $C)$ correspondant à la réponse choisie.

$($Exemple $3.A).$

Une bonne réponse vaut 1 point.

L'absence de réponse n'ajoute ni ne retranche aucun point, si le total des points est négatif, la note est ramenée à zéro.

1. On considère la série à deux variables présentées dans le tableau suivant:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline y_{i}&205&220&227&239&245&264&264&279&278&283\\ \hline \end{array}$$

La droite de Mayer a pour équation réduite:
$$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}\\ \hline y=9.28x+169.36&y=9.82x+199.36\\ \hline \text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline y=9.28x+199.36&y=9.28x+193.36\\ \hline \end{array}$$

2. Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $$u_{n}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\ldots⋯+\dfrac{1}{2^{n+3}}$$

alors :
$$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}\\ \hline u_{n}=4\left[1−\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right]&u_{n}=\dfrac{1}{4}\left[1−\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+3}\right]\\ \hline \text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline u_{n}=\dfrac{1}{8}\left[1−\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+3}\right]&u_{n}=\dfrac{1}{4}\left[1−\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right]\\ \hline \end{array}$$

3. Dans ma rue, il pleut un soir sur trois.

S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{20}$, s'il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité de $\dfrac{19}{20}.$

Je sors mon chien, la probabilité qu'il ne pleuve pas est égal à :
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}\\
\hline \dfrac{3}{20}&\dfrac{9}{39}\\
\hline \text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\
\hline \dfrac{38}{39}&\dfrac{39}{38}\\
\hline \end{array}$$

4. L'équation différentielle $y=2y'-1$ a pour ensemble de solution :
$$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}\\ \hline f(x)=k\mathrm{e}^{x}−1,\text{ avec }k\in\mathbb{R}&f(x)=k\mathrm{e}^{\dfrac{1}{2}x}+1\;,\ k\in\mathbb{R}\\ \hline \text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline f(x)=k\mathrm{e}^{\dfrac{1}{2}x}-1\;,\ k\in\mathbb{R}&f(x)=k\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}\;,\ k\in\mathbb{R}\\ \hline
\end{array}$$

5. Une primitive sur $]-\infty\ ;\ 2 [$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{3}{2−x}$ est :
$$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}\\ \hline F(x)=1−\ln(2−x)&F(x)=3\ln(2−x)\\ \hline \text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline F(x)=\dfrac{1}{3}\ln(2−x)&F(x)=1-3\ln(2−x)\\ \hline \end{array}$$

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$  d'unité graphique $2\,cm.$

A tout nombre complexe $z\neq 3-\mathrm{i}$, on associe le nombre complexe : $$Z=\dfrac{2\mathrm{i}z−4+2\mathrm{i}}{z-3+\mathrm{i}}$$

1. On pose $z=x+\mathrm{i}y$, avec $(x\ ;\ y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}.$

Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle $X$ et la partie imaginaire $Y$ de $Z.$

2. Déterminer et construire :  

a) L'ensemble $(\mathcal{D})$ des points $M$ d'affixes $z$ tels que $Z$ soit imaginaire pure.

b) L'ensemble $(\mathcal{C})$ des points $M$ d'affixes $z$ tels que $Z$ soit réel.

3. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=-1-2\mathrm{i}$ et $b=3-\mathrm{i}.$

a) Interpréter géométriquement le module et l'argument de $Z.$

b) Déterminer l'ensemble $(\mathcal{H})$ des points $M$ d'affixe $z$ tes que $|z|=1.$

c) Retrouver les ensembles $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{C})$ de la question 2.

4. Soit $S$ la similitude de centre $\Omega$ d'affixe $1+\mathrm{i}$, de rayon $2$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{4}.$

a) Déterminer l'expression analytique de $S.$

b) Déduisez-en une équation cartésienne de $(\mathcal{C'})$, image de $(\mathcal{C})$ par $S.$

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, on considère les points $A(3\ ; -2\ ;\ 2)$, $B(6\ ;\ 1\ ;\ 5)$, $C(6\ ;\ -2\ ;\ -1)$, $D(0\ ;\ 4\ ;\ -1).$

1. a) Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.

b) Déterminer une équation cartésienne du $(ABC).$

2. a) Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A.$

b) Déterminer  une  équation cartésienne du plan $(P_{1})$ passant par $A$  et orthogonale à $(AC).$

c) Vérifier que le plan $(P_{2})$ d'équation : $x+y+z=3$ est orthogonal à la droite $(AB)$ et passe par le point $A.$

3. Soit $(\mathcal{S})$ la sphère de centre $B$ et de rayon $R=5\sqrt{3}.$

a) Donner une équation cartésienne de la sphère $(\mathcal{S}).$

b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(\mathcal{H})$, intersection de la sphère $(\mathcal{S})$ et du plan $(\mathcal{D_{2}}).$

c) Montrer que $ABCD$ est un tétraèdre non aplati puis déterminer son volume.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=x^{2}−2(x-1)\mathrm{e}^{x-1}.$$

On désigne par $(\mathtt{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, d'unité graphique $2\,cm.$

1. Justifier que $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}=+\infty$, puis déterminer la limite en $+\infty.$

2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variation.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[1\ ;\ 2]$ dont on donnera un encadrement à $10^{-2}cm.$

4. Soit $(\mathfrak{D})$ la parabole d'équation $y=x^{2}.$

a) Étudier la position de $(\mathtt{C})$ et $(\mathfrak{D}).$

b) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[f(x)-x^{2}\right].$

Que peut-on en déduire ?

5. Construire $(\mathtt{C})$ et $(\mathfrak{D}).$

6. Soit $\lambda$ un réel strictement inférieur à $1.$

On rappelle $\mathcal{C_{1}}$ le domaine plan limité par les courbes $(\mathtt{C})$ et $(\mathfrak{D})$, les droites d'équation $x=\lambda$ et $x=1.$

On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{C_{1}}.$

a) Montrer que $\mathcal{A}(\lambda)=2(\lambda-2)\mathrm{e}^{\lambda-1}+2.$

b) Déterminer $\lim\limits_{\lambda\rightarrow-\infty}\mathcal{A}(\lambda).$