Bac Maths D, Burkina 2016
Exercice 1
1. a) Écrire sous forme algébrique (1−i)2 puis en déduire les solutions dans C de l'équation z2=−2i.
b) Déterminer les nombres b et c pour que, pour tout z∈C on ait :
(z)=(z2+2i)(z2+bz+c)
2. Résoudre dans C l'équation (E)\ ∶(z)=0
3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives
z_{A}=1−\mathrm{i}, z_{B}=−1+\mathrm{i}, z_{C}=1+3, z_{D}=3+\mathrm{i}
a) Faire une figure
b) On pose Z=\dfrac{z_{\overrightarrow{BA}}}{z_{\overrightarrow{BC}}}.
Écrire Z sous la forme algébrique.
c) Interpréter géométriquement le module et un argument de Z.
d) Quelle est la nature exacte du triangle ABC puis du quadrilatère ABCD ?
Exercice 2
1. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
2. Soit I le point de coordonnées (−1\ ;\ 3\ ;\ 0).
Calculer la distance de I au plan (ABC).
Ces points A, B, C et I sont-ils coplanaires ?
3. a) Calculer l'aire \mathcal{A} du triangle ABC en unité d'aire.
b) Déterminer le volume \mathcal{V} (en unité de volume) de la pyramide de sommet I et de base le triangle ABC.
Exercice 3 Problème
\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&\dfrac{lnx}{1+x}\;,&\text{si}\quad x\geq 1\\\\ f(x)&=&\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x-1}}\;,&\text{si}\quad x<1 \end{array}\right\rbrace
On note (\mathcal{C}) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) tel que \|i\|=1\,cm et \|j\|=2\,cm.
Parte A
1. Calculer les limites de g aux bornes de I.
2. Étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.
3. Démontrer que l'équation (x)=0 admet une unique solution \alpha sur I Vérifier que \alpha\in]3.5\ ;\ 4[
4. Déduire de ce qui précède le signe de g sur I
Parte B
2. Étudier la dérivabilité de f en 1.
Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3. Calculer f'(x) pour x\in\mathbb{R}\setminus{1} et vérifier que pour tout x\in I\;,\quad f'(x)=\dfrac{g(x)}{x(1+x)^{2}}
4. En déduire le signe de f'(x) pour tout x\in\mathbb{R}\setminus{1} puis dresser le tableau de variation de f.
5. Montrer que (\alpha)=1\alpha.
6. Construire (\mathcal{C}), ses tangentes et ses asymptotes.
Parte C
1. Calculer J_{0}.
2. Montrer que J_{n}\geq 0 pour tout n\in\mathbb{N}.
3. Montrer que \left(J_{n}\right) est décroissante
4. Montrer que \left(J_{n}\right) est convergente.
5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n ∶
3J_{n+1}+(n+1)=\mathrm{e}^{3}
6. En déduire les valeurs exactes de J_{1} et J_{2}.
Données :
\ln 2\simeq 0.7 ;
\mathrm{e}^{−1}\simeq 0.37
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