Bac Maths D, Burkina 2016

On considère le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{C}$ par : $$(z)=z^{4}−4(1+\mathrm{i})^{3}+12\mathrm{i}z^{2}+8(1-\mathrm{i})z-20$$   

1. a) Écrire sous forme algébrique $(1-\mathrm{i})^{2}$ puis en déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^{2}=-2\mathrm{i}.$      

b) Déterminer les nombres $b$ et $c$ pour que, pour tout $z\in\mathbb{C}$ on ait :            
$$(z)=\left(z^{2}+2\mathrm{i}\right)\left(z^{2}+bz+c\right)$$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)\ ∶(z)=0$  

3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives  

$z_{A}=1−\mathrm{i}$, $z_{B}=−1+\mathrm{i}$, $z_{C}=1+3$, $z_{D}=3+\mathrm{i}$

a) Faire une figure      

b) On pose $Z=\dfrac{z_{\overrightarrow{BA}}}{z_{\overrightarrow{BC}}}.$

Écrire $Z$ sous la forme algébrique.      

c) Interpréter géométriquement le module et un argument de $Z.$      

d) Quelle est la nature exacte du triangle $ABC$ puis du quadrilatère $ABCD$ ?

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, on considère les points $(-1\ ;\ 1\ ;\ -3)$ ; $(-2\ ;\ 3\ ;\ -3)$ ; $C(-2\ ;\ 1\ ;\ 0).$  

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$

2. Soit $I$ le point de coordonnées $(−1\ ;\ 3\ ;\ 0).$

Calculer la distance de $I$ au plan $(ABC).$

Ces points $A$, $B$, $C$ et $I$ sont-ils coplanaires ?  
 
3. a) Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du triangle $ABC$ en unité d'aire.      
 
b) Déterminer le volume $\mathcal{V}$ (en unité de volume) de la pyramide de sommet $I$ et de base le triangle $ABC.$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&\dfrac{lnx}{1+x}\;,&\text{si}\quad x\geq 1\\\\ f(x)&=&\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x-1}}\;,&\text{si}\quad x<1 \end{array}\right\rbrace$$
 
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ tel que $\|i\|=1\,cm$ et $\|j\|=2\,cm.$  

Soit $g$ la fonction définie sur $I=[1\ ;\ +\infty[$ par $g(x)=1+x-xlnx$

1. Calculer les limites de $g$ aux bornes de $I.$

2. Étudier le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variation.

3. Démontrer que l'équation $(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $I$ Vérifier que $\alpha\in]3.5\ ;\ 4[$

4. Déduire de ce qui précède le signe de $g$ sur $I$  

1. Calculer les limites de $f$ en $−\infty$ et en $+\infty$  

2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1.$  

Interpréter graphiquement le résultat obtenu.  

3. Calculer $f'(x)$ pour $x\in\mathbb{R}\setminus{1}$ et vérifier que pour tout $x\in I\;,\quad f'(x)=\dfrac{g(x)}{x(1+x)^{2}}$

4. En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus{1}$ puis dresser le tableau de variation de $f.$  

5. Montrer que $(\alpha)=1\alpha.$

6. Construire $(\mathcal{C})$, ses tangentes et ses asymptotes.

On pose :$$J_{n}=\int_{1}^{\mathrm{e}}x^{2}\left(ln x\right)^{2}$$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$  

1. Calculer $J_{0}.$  

2. Montrer que $J_{n}\geq 0$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$  

3. Montrer que $\left(J_{n}\right)$ est décroissante  

4. Montrer que $\left(J_{n}\right)$ est convergente.  

5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ ∶
$$3J_{n+1}+(n+1)=\mathrm{e}^{3}$$  

6. En déduire les valeurs exactes de $J_{1}$ et $J_{2}.$  

$\ln(3.5)\simeq 1.25$ ;

$\ln 2\simeq 0.7$ ;

$\mathrm{e}^{−1}\simeq 0.37$