Bac Maths D, Burkina 2016
Exercice 1
1. a) Écrire sous forme algébrique (1−i)2 puis en déduire les solutions dans C de l'équation z2=−2i.
b) Déterminer les nombres b et c pour que, pour tout z∈C on ait :
(z)=(z2+2i)(z2+bz+c)
2. Résoudre dans C l'équation (E) ∶(z)=0
3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, →u, →v), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives
zA=1−i, zB=−1+i, zC=1+3, zD=3+i
a) Faire une figure
b) On pose Z=z→BAz→BC.
Écrire Z sous la forme algébrique.
c) Interpréter géométriquement le module et un argument de Z.
d) Quelle est la nature exacte du triangle ABC puis du quadrilatère ABCD ?
Exercice 2
1. Calculer les coordonnées du vecteur →AB∧→AC
2. Soit I le point de coordonnées (−1 ; 3 ; 0).
Calculer la distance de I au plan (ABC).
Ces points A, B, C et I sont-ils coplanaires ?
3. a) Calculer l'aire A du triangle ABC en unité d'aire.
b) Déterminer le volume V (en unité de volume) de la pyramide de sommet I et de base le triangle ABC.
Exercice 3 Problème
{f(x)=lnx1+x,six≥1f(x)=1ex−1,six<1}
On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, →i, →j) tel que ‖ et \|j\|=2\,cm.
Parte A
1. Calculer les limites de g aux bornes de I.
2. Étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.
3. Démontrer que l'équation (x)=0 admet une unique solution \alpha sur I Vérifier que \alpha\in]3.5\ ;\ 4[
4. Déduire de ce qui précède le signe de g sur I
Parte B
2. Étudier la dérivabilité de f en 1.
Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3. Calculer f'(x) pour x\in\mathbb{R}\setminus{1} et vérifier que pour tout x\in I\;,\quad f'(x)=\dfrac{g(x)}{x(1+x)^{2}}
4. En déduire le signe de f'(x) pour tout x\in\mathbb{R}\setminus{1} puis dresser le tableau de variation de f.
5. Montrer que (\alpha)=1\alpha.
6. Construire (\mathcal{C}), ses tangentes et ses asymptotes.
Parte C
1. Calculer J_{0}.
2. Montrer que J_{n}\geq 0 pour tout n\in\mathbb{N}.
3. Montrer que \left(J_{n}\right) est décroissante
4. Montrer que \left(J_{n}\right) est convergente.
5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n ∶
3J_{n+1}+(n+1)=\mathrm{e}^{3}
6. En déduire les valeurs exactes de J_{1} et J_{2}.
Données :
\ln 2\simeq 0.7 ;
\mathrm{e}^{−1}\simeq 0.37
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