Bac Maths D, Burkina 2016

Exercice 1  

On considère le polynôme P défini sur C par : (z)=z44(1+i)3+12iz2+8(1i)z20   

1. a) Écrire sous forme algébrique (1i)2 puis en déduire les solutions dans C de l'équation z2=2i.      

b) Déterminer les nombres b et c pour que, pour tout zC on ait :            
(z)=(z2+2i)(z2+bz+c)

2. Résoudre dans C l'équation (E)\ ∶(z)=0  

3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives  

z_{A}=1−\mathrm{i}, z_{B}=−1+\mathrm{i}, z_{C}=1+3, z_{D}=3+\mathrm{i}

a) Faire une figure      

b) On pose Z=\dfrac{z_{\overrightarrow{BA}}}{z_{\overrightarrow{BC}}}.

Écrire Z sous la forme algébrique.      

c) Interpréter géométriquement le module et un argument de Z.      

d) Quelle est la nature exacte du triangle ABC puis du quadrilatère ABCD ?

Exercice 2

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal direct (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}), on considère les points (-1\ ;\ 1\ ;\ -3) ; (-2\ ;\ 3\ ;\ -3) ; C(-2\ ;\ 1\ ;\ 0).  

1. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}

2. Soit I le point de coordonnées (−1\ ;\ 3\ ;\ 0).

Calculer la distance de I au plan (ABC).

Ces points A, B, C et I sont-ils coplanaires ?  
 
3. a) Calculer l'aire \mathcal{A} du triangle ABC en unité d'aire.      
 
b) Déterminer le volume \mathcal{V} (en unité de volume) de la pyramide de sommet I et de base le triangle ABC.

Exercice 3 Problème

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&\dfrac{lnx}{1+x}\;,&\text{si}\quad x\geq 1\\\\ f(x)&=&\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x-1}}\;,&\text{si}\quad x<1 \end{array}\right\rbrace
 
On note (\mathcal{C}) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) tel que \|i\|=1\,cm et \|j\|=2\,cm.  

Parte A   

Soit g la fonction définie sur I=[1\ ;\ +\infty[ par g(x)=1+x-xlnx

1. Calculer les limites de g aux bornes de I.

2. Étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.

3. Démontrer que l'équation (x)=0 admet une unique solution \alpha sur I Vérifier que \alpha\in]3.5\ ;\ 4[

4. Déduire de ce qui précède le signe de g sur I  

Parte B

1. Calculer les limites de f en −\infty et en +\infty  

2. Étudier la dérivabilité de f en 1.  

Interpréter graphiquement le résultat obtenu.  

3. Calculer f'(x) pour x\in\mathbb{R}\setminus{1} et vérifier que pour tout x\in I\;,\quad f'(x)=\dfrac{g(x)}{x(1+x)^{2}}

4. En déduire le signe de f'(x) pour tout x\in\mathbb{R}\setminus{1} puis dresser le tableau de variation de f.  

5. Montrer que (\alpha)=1\alpha.

6. Construire (\mathcal{C}), ses tangentes et ses asymptotes.

Parte C

On pose :J_{n}=\int_{1}^{\mathrm{e}}x^{2}\left(ln x\right)^{2} pour tout n\in\mathbb{N}.  

1. Calculer J_{0}.  

2. Montrer que J_{n}\geq 0 pour tout n\in\mathbb{N}.  

3. Montrer que \left(J_{n}\right) est décroissante  

4. Montrer que \left(J_{n}\right) est convergente.  

5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n
3J_{n+1}+(n+1)=\mathrm{e}^{3}  

6. En déduire les valeurs exactes de J_{1} et J_{2}.  

Données :   

\ln(3.5)\simeq 1.25 ;

\ln 2\simeq 0.7 ;

\mathrm{e}^{−1}\simeq 0.37
 

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