BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2004
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\textsl{L'exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.}
A et C sont deux points distincts du plan ; on note Γ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de Γ ; B est un point du cercle Γ distinct des points A et C.
Le point D est construit tel que le triangle BCD soit équilatéral
direct ; on a donc (\vectBC, \vectBD)=+π3[2π].
Le point G est le centre de gravité du triangle BCD.
Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M.
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{Partie A}
Placer les points D, G et M sur la figure de la
feuille annexe.
Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice
du segment [BC] et que le point G est le milieu du segment [CM].
Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe s de
centre C transformant B en M.
{Partie B}
Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormé
direct (O ; →u ; →v){} choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives −1 et 1.
Soit E le point construit pour que le triangle ACE soit
équilatéral direct ; on a donc
(\vectAC, \vectAE)=+π3[2π].
Calculer l'affixe du point E et construire le point E
sur la feuille annexe.
Soit σ la similitude directe d'expression complexe z′=3+i√34z+1−i√34.
Déterminer les éléments caractéristiques de σ et en déduire que σ est la similitude réciproque de s.
Montrer que l'image E′ du point E par σ a pour
affixe −12+i√32 et
montrer que le point E′ appartient au cercle Γ.
On note C le lieu des points M lorsque le point
B décrit le cercle Γ privé des points A et C.
Montrer que le point E appartient à C.
Soit O′ l'image du point O par la similitude s. Démontrer que le
point O′ est le centre de gravité du triangle ACE.
En déduire une construction de C.
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