ESP - Epreuve de Mathématiques - 2019

 

Soit $(E\;,\ \leq)$ un ensemble non vide.

 

1) $f$ est une application de $E$ dans $E$ vérifiant les propriétés suivantes :

 

(1) $f$ est croissante

 

(2) $\forall\;x\in E\;,\ x\leq f(x)$

 

(3) $\forall\;x\in E\;,\ f(x)=f(f(x))$

 

On note $F=\{x\,/\,x\in E\ \text{et}\ x=f(x)\}$

 

Montrer que pour tout $x$ de $E$ l'ensemble $F_{x}=\{y\in F\,/\,x\leq y\}$ n'est pas vide et admet un plus petit élément.

 

2) $g$ est une application de $E$ dans $E\;,\ G$ est une partie de $E$ telle que, pour tout $x$ de $E$, l'ensemble $G_{x}=\{y\in G\,/\,x\leq y\}$ est non vide et admet $g(x)$ comme plus petit élément.

 

Démontrer que $g$ vérifie les propriétés (1), (2) et (3) de la question 1).

 

Démontrer que $G=\{x\,/\,x\in E\ \text{et}\ x=g(x)\}$

Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Pour tout entier $n$ non nul, et pour tout réel $x$ positif, on pose :

$$I_{n}(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{\mathrm{d}t}{(t^{\alpha}+1)^{n}}$$

1) Déterminer une relation de récurrence entre $I_{n}(x)\ $ et $\ I_{n+1}(x)$

 

2) On suppose $\alpha=2.$ Montrer que 

$$I_{n}(x)=\int_{0}^{\arctan x}\cos^{2n-2}t\mathrm{d}t$$

A) Soit $P$ un élément de $\mathbb{R}[X]$ tel que le reste de la division de $P(X)$ par $X+1$ soit $2$ et le reste de la division de $P(X)$ par $X-1$ soit $-4.$

 

Quel est le reste de la division de $P(X)$ par $X^{2}-1\ ?$

 

B) Calculer le reste de la division de $H(X)=X^{n}+X+1$ par $(X-1)^{2}$ (où $n$ est un entier supérieur ou égal à $2)$

Soient deux réels $a\ $ et $\ b$ vérifiant $0<a<b.$

 

On pose $D=\{(x\;,\ t)\in\mathbb{R}^{2}\,/\,a\leq x\leq t\leq b\}\ $ et $\ I=[a\;;\ b].$

 

Soit $P$ une application continue de $D$ dans $\mathbb{R}$ telle que :

$$\sup\{|P(x\;,\ t)|\;,\ (x\;,\ t)\in D\}<a$$

On désigne par $B$ l'ensemble des fonctions numériques bornées sur $I\ :$

 

Pour toute application $h$ de $B$, on pose :

$$\|h\|=\sup\limits_{x\in I}|h(x)|\quad\text{et}\quad Th(x)=\int_{x}^{b}\dfrac{P(x\;,\ t)h(t)}{t^{2}}\mathrm{d}t$$

1) Montrer que : $\forall\;h\in B\;,\ Th\in B$

 

2) Montrer que l'application $T\ :\ h\ \mapsto\ Th$ est continue de $B$ dans $B.$

 

3) Pour toute application $h$ de $B$, on pose :

$$T^{0}h=h\;,\ \text{ et pour tout entier }n\;,\ T^{n+1}h=T(T^{n}h)$$

a) Montrer que pour toute application $h$ de $B$, la série des fonctions $(T^{n}h)$ converge normalement sur $I.$

 

b) Soit $h\in B.$ Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty}T^{n}h$ est l'unique élément $f$ de $B$ vérifiant :

 

$$f-Tf=h$$

 

 

$$\text{Durée 4 heures}$$