Bac Maths D, Cameroun 2014

A. On considère le polynôme $p$ défini par $p(z)=z^{3}−3z^{2}−3z+5+20\mathrm{i}\;,\ z$ étant un nombre complexe.  

1. Montrer que $1+2\mathrm{i}$ est une racine de $p.$  

2. Trouver deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, on ait $p(z)=(z−1−2\mathrm{i})(z^{2}+az+b).$  

3. En déduire dans l'ensemble des nombres complexes, les solutions de l'équation $p(z)=0.$  

B. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ ; on prendra $1\,cm$ pour unité graphique.  

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=1+2\mathrm{i}$, $b=−2−\mathrm{i}$, et $c=4−\mathrm{i}$ dans le repère $(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$  

2. Soit $D$ le point d'affixe $2+3\mathrm{i}$ ; montrer que $A$, $B$ et $D$ sont alignés.  

a) Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$ mettre le résultat sous la forme algébrique puis sous la forme trigonométrique.    

b) En déduire la nature exacte du triangle $ABC.$

Une entreprise achète, utilise et revend des machines après un certain nombre $x_{i}$ d'années.

Après $6$ années, l'évolution du prix de vente d'une machine en fonction du nombre d'années d'utilisation, se présente comme suit :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nombre d'année }x_{i}&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{Prix }y_{i}& & & & & & \\\text{en milliers de FCFA}&150&125&90&75&50 &45\\  \hline \end{array}$$

1. Représenter graphiquement le nuage de points de cette série statistique.

$($On prendra $1\,cm$ pour une année en abscisse, et $1\,cm$ pour $20000\ FCFA$ en ordonnée$).$  

2. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de la série $\left((x_{i}\;,\ y_{i}\right)$ ainsi définie.  

3. En utilisant la méthode des moindres carrés, déterminer une équation cartésienne de la droite de régression de $y$ en $x$ de cette série statistique.  

4. En déduire une estimation du prix de vente d'une machine après $7\;ans$ d'utilisation. 

Le problème comporte trois parties $A$, $B$ et $C$ obligatoires.

On considère la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie pour tout $x\neq −2$ par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x+2}$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.  
 
2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.  
 
3. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=]-1\ ;\ +\infty[$ ; montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.  
 
4. Tracer dans le même repère, la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de $f$, et la courbe $(\mathcal{C_{0}})$ représentative de $g^{−1}.$   

1. Déterminer l'image par $f$ de l'intervalle $[0\ ;\ 1].$   

2. Calculer $f''(x)$ et vérifier que pour tout $x$ de $[0\ ;\ 1]\;,\ f''(x)> 0.$  

3. En déduire que pour tout $x$ de $[0\ ;\ 1]\;,\ \dfrac{1}{4}\leq f'(x)\leq  \dfrac{2}{3}.$   
 
4. Démontrer que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0\ ;\ 1]$

$($On ne demande pas de calculer $\alpha).$

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ à termes positifs, définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel non nul $n\;,\ u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).$  
 
1. Montrer par récurrence sur $n$ que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que $u_{n}\in\left[\dfrac{1}{2}\ ;\ 1\right]$ ; quelle conclusion peut-on en tirer ?  
 
2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $$\left|u_{n+1}-\alpha\right|\leq\dfrac{2}{3}\left|u_{n}-\alpha\right|.$$  
 
En déduire que pour tout entier naturel $n\;,\ \left|u_{n}-\alpha\right|\leq\left[(\dfrac{2}{3})\right]^{n}$

3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right).$