Bac Maths D, Cameroun 2014

Exercice 1

A. On considère le polynôme pp défini par p(z)=z33z23z+5+20i, zp(z)=z33z23z+5+20i, z étant un nombre complexe.  

1. Montrer que 1+2i1+2i est une racine de p.p.  

2. Trouver deux nombres complexes aa et bb tels que, pour tout nombre complexe zz, on ait p(z)=(z12i)(z2+az+b).p(z)=(z12i)(z2+az+b).  

3. En déduire dans l'ensemble des nombres complexes, les solutions de l'équation p(z)=0.p(z)=0.  

B. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u, v)(O ; u, v) ; on prendra 1cm1cm pour unité graphique.  

1. Placer les points AA, BB et CC d'affixes respectives a=1+2ia=1+2i, b=2ib=2i, et c=4ic=4i dans le repère (O ; u, v).(O ; u, v).  

2. Soit DD le point d'affixe 2+3i2+3i ; montrer que AA, BB et DD sont alignés.  

a) Calculer bacabaca mettre le résultat sous la forme algébrique puis sous la forme trigonométrique.    

b) En déduire la nature exacte du triangle ABC.ABC.

Exercice 2  

Une entreprise achète, utilise et revend des machines après un certain nombre xixi d'années.

Après 66 années, l'évolution du prix de vente d'une machine en fonction du nombre d'années d'utilisation, se présente comme suit :
Nombre d'année xi123456Prix yien milliers de FCFA15012590755045

1. Représenter graphiquement le nuage de points de cette série statistique.

(On prendra 1cm pour une année en abscisse, et 1cm pour 20000 FCFA en ordonnée).  

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de la série ((xi, yi) ainsi définie.  

3. En utilisant la méthode des moindres carrés, déterminer une équation cartésienne de la droite de régression de y en x de cette série statistique.  

4. En déduire une estimation du prix de vente d'une machine après 7ans d'utilisation. 

Exercice 3 Problème

Le problème comporte trois parties A, B et C obligatoires.

On considère la fonction numérique de la variable réelle x définie pour tout x2 par f(x)=exx+2

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i, j)

Partie A  

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.  
 
2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.  
 
3. Soit g la restriction de f à l'intervalle I=]1 ; +[ ; montrer que g réalise une bijection de I sur un intervalle J que l'on déterminera.  
 
4. Tracer dans le même repère, la courbe (C) représentative de f, et la courbe (C0) représentative de g1.   

Partie B  

1. Déterminer l'image par f de l'intervalle [0 ; 1].   

2. Calculer f(x) et vérifier que pour tout x de [0 ; 1], f(x)>0.  

3. En déduire que pour tout x de [0 ; 1], 14f(x)23.   
 
4. Démontrer que l'équation f(x)=x admet une unique solution α dans l'intervalle [0 ; 1]

(On ne demande pas de calculer α).

Partie C

On considère la suite (un) à termes positifs, définie par u0=12 et pour tout entier naturel non nul n, un+1=f(un).  
 
1. Montrer par récurrence sur n que la suite (un) est croissante et que un[12 ; 1] ; quelle conclusion peut-on en tirer ?  
 
2. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : |un+1α|23|unα|.  
 
En déduire que pour tout entier naturel n, |unα|[(23)]n

3. Déterminer la limite de la suite (un).
 

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