Bac Maths D, Cameroun 2010

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j) d'unité sur les axes 1cm.

On considère dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation (e) : z2+(7+i)Z+1216i=0.

1. a) Calculer (5+5i)2.

b) Résoudre l'équation (e) dans C.

2. Soient les points A et B d'affixes respectives 13i et 6+12i.

Calculer zOzBzOzA, où zO ; zA et zB désignent les affixes respectives de O, A et B ; en déduire la nature du triangle OAB.

3. Que représente le point I d'affixe 7212i pour le segment [AB] ?

4. Soit (Γ) l'ensemble des points M l'affixe z tels que |z7212i|=522.

a) Dire si chacune des propositions suivantes sont vraies ou fausse.

i. O(Γ)   

ii. A(Γ)  

iii. B(Γ).

b) Donner une équation cartésienne de (Γ) et construire (Γ).

Exercice 2 

En 1990, un pays avait une population de 50 millions d'habitants.

Par accroissement naturel, sa population augmente de 1.5% par an.

Par ailleurs, on constate une  augmentation annuelle supplémentaire de 0.45 million d'habitants dès l'année 1991.

L'unité étant le million d'habitants ; on note U0=50 l'effectif de la population en 1990 et Un le nombre d'habitant en 1990+n.

1. a) Calculer U1 et U2.

b) Montre que Un+1=1.01Un+0.45.  

2. On se propose de prévoir directement l'effectif de la population en 2010 si le modèle d'évolution se poursuit de la même façon ; pour cela on considère la suite (Vn) définie par : Vn=30+Un.

a) Calculer V1 et V2.

b) Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.

En déduire alors l'effectif de la population de ce pays en l'an 2010.

(on prendra le résultat arrondi en million d'habitants).

d) Déterminer par calcul à partir de quelle année l'effectif de la population de ce pays dépassera 100 millions d'habitants si l'évolution se poursuit de la même manière.

Exercice 3 Problème 

Partie A

On considère la fonction f de R définie par  ∶
f(x)\begin{array}{ll}\left\lbrace 1+x\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}\;,&\text{si }x\leq 0\\\\  x\ln x−x+1\;,&\text{si }x>0 \end{array}\right\rbrace

Soit (O ; i, j) un repère orthonormé du plan et (Cf) la courbe représentative de f dans ce repère.

1. Déterminer le domaine de définition de f.

2. a) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

b) Écrire les équations des demi-tangentes à (Cf) au point d'abscisse 0.

3. a) Calculer les limites de f en et en +.      

b) Étudier les branches infinies de la courbe (Cf).

4. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

5. Tracer les demi-tangentes à (Cf) au point d'abscisse 0 et tracer (Cf).  

6. Déterminer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (Cf) et les droites d'équations respectives y=1, x=1 et x=0 (on pourra utiliser une intégration par partie).   

7. Montrer que la restriction g de f à l'intervalle ]0 ; +[ est une bijection de l'intervalle ]0 ; +[ dans un intervalle que l'on précisera.

Partie B

On se propose de résoudre l'équation différentielle (1) : y2y=xex2.

1. Résoudre l'équation différentielle (2) : y2y=0y désigne une fonction dérivable sur R.

2. Soient a et b deux réels, u la fonction définie par u(x)=(ax+b)ex2.

Déterminer a et b pour que u soit une solution de (1).

3. a) Montre que v est solution de (1) si et seulement si vu est solution de (2).

b) En déduire les solutions de (1).

c) Déterminer la solution de (1) qui s'annule en 0.

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