Bac Maths D, Cameroun 2011

Exercice 1

A la suite de plusieurs campagnes de vaccination réalisées dans un village du Cameroun, les études ont révélé que la probabilité pour qu'un enfant de moins de 5 ans soit atteint de poliomyélite est de 0.05.

On choisit au hasard un enfant de moins de 5 ans de ce village.

1. Quelle est la probabilité pour que cet enfant ne soit pas atteint de poliomyélite ?

2. On a effectué un contrôle sur 8 enfants âgés de moins de 5 ans dans ce village.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A : « aucun enfant n'est atteint de poliomyélite »

B : « trois enfants sont atteints de poliomyélite »

C : « au moins quatre enfants sont atteints de poliomyélite »

Exercice 2

Soit P un plan affine muni d'un repère orthonormé (O, i, j).

A tout nombre complexe zi, on associe f(z)=izz+i.

On note M le point d'affixe z=x+iyx et y sont des nombres réels.

1. Déterminer l'affixe z0 du point B tel que : f(z)=32+32i.

2. On note r le module de z+i et α son argument principal.

Écrire en fonction de r et α une trigonométrique de f(z)i.

3. Soit A le point d'affixe i.

a) Déterminer l'ensemble (C) des points M d'affixe z vérifiant l'égalité  |f(z)i|=1.

b) Montrer que la droite (T) d'équation 3xy3=0 est tangente à (C) en B.

4. Construire A, B, (T) et (C).

Exercice 3 Problème

On considère la fonction numérique f définie par : f(x)=2x23xx23x+3

(Γ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.  
 
1. Donner le domaine de définition de f et les limites de f(x) lorsque x tend vers l'infini.
 
2. Calculer f(x) pour tout réel x et dresser le tableau de variation de f.

3. Calculer f(x)2, en déduire la position de la courbe (Γ) par rapport à son asymptote horizontale.

4. Donner les équations des tangentes à la courbe (Γ) aux points d'abscisses 0 et 2.

5. Tracer les tangentes précédentes et la courbe (Γ).

6. Montrer que la restriction g de f à [3, +[ est une bijection de cet intervalle sur un intervalle J que l'on déterminera.

Tracer dans le même repère la courbe de g1.

7. Soit λ un nombre strictement supérieur à 3.

On appelle A(λ) l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (Γ) et la droite d'équation y=2 d'une part, les droites d'équation x=3 et x=λ d'autre part.

a) Montrer que A(λ)=λ33x6x23x+3dx.

b) Montrer que pour tout x3, on a 2x33x6.

En déduire que λ33x6x23x+3dxA(λ).

c) Quelle est la limite de A(λ) quand λ tend vers +.

8. On considère la suite (un) définie par : u0 réel donné et pour tout entier naturel n, un+1=f(un).

a) Pour u0=2, montrer que la suite (un) est constante.

b) On donne u0 tels que 2<u0<3.

i. Montrer que pour tout n, on a 2<un<3.

ii. Montrer que la suite (un) est croissante.

iii. Que peut-on en déduire sur la suite (un) ?

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