BAC S SPECIALITE Polynésie septembre 2004

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\vec{u}~;~\vec{v}\right)$. On
prendra, sur la figure 1 cm pour unité graphique.
On désigne par A, B  et C les points d'affixes respectives $- 1$  +i,~$3 + 2\text{i}$ et i$\sqrt{2}$.

1. On considère la transformation $f$ du plan dans lui-même qui à
tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ définie par :
$$z' = \dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{2}}\overline{z} - 1 + \text{i}\left(1 +\sqrt{2}\right).$$
    a. Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A})$ etC$' = f(\text{C})$.
    b. En déduire la nature de $f$ et caractériser cette transformation.
    c. Placer les points A, B et C puis construire le point B$' =f(\text{B})$.
2. a. Donner l'écriture complexe de l'homothétie $h$ de centre A et de rapport $\sqrt{2}$.
      b. Montrer que la composée $g = f \circ h$ a pour écriture complexe
           $z'' =  (1 + \text{i})\overline{z} - 1 + 3\text{i}$.

3. Soit M$_0$ le point d'affixe 2 - 4 i.
    a. Determiner l'affixe du point M$_0'' = g\left(\text{M}_0\right)$ puis vérifier que les
     vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AM}_0''}$ sont orthogonaux.
    b. On considère un point $M$ d'affixe $z$. On suppose que la partie
         réelle $x$ et la partie imaginaire $y$ de $z$ sont des entiers.
    c. Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{A}M''}$
         sont orthogonaux si, et seulement si $5x + 3y  = -2$.
    d. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $5x + 3y = -2$.
    e. En déduire les points $M$ dont les coordonnées sont des entiers
         appartenant à l'intervalle $[-6~;~ 6]$ tels que $\overrightarrow{\text{AB}}$ et
         $\overrightarrow{\text{AM}''}$ sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure.