Bac Maths D, Niger 2015
Exercice 1
1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation :
z4+4iz2+12=0
2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O, →U, →V) on considère les points A et B d'affixes respectives 1+i et √3−i√3.
Soit S la similitude plane directe de centre O qui transforme A en B.
a) Déterminer f, l'application complexe associée à S.
b) Déterminer les éléments caractéristiques de S.
c) Soit (D) la droite passant par B et de vecteur directeur →U.
Déterminer une équation de la droite (D′) image de la droite (D) par S.
Exercice 2
Une urne contient quatre boules roses, trois boules vertes et deux boules jaunes indiscernables au toucher.
On tire simultanément trois boules de l'urne.
1. Déterminer la probabilité d'obtenir :
a) Les trois couleurs
b) Les deux boules jaunes
c) Au moins une boule jaune
2. Soit X la variable aléatoire qui à tout tirage de trois boules associe le nombre de boules jaunes tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X.
c) Définir la fonction de répartition de X.
Problème
A. On considère l'équation différentielle ∶y″−2y′+y=2ex+1(1).
1. Vérifier que la fonction g définie sur R par :
g(x)=x2ex+1 est une solution de l'équation différentielle (1).
2. a) Démontrer qu'une fonction h deux fois dérivable sur R est solution de (1) si et seulement si la fonction h−g est solution de l'équation différentielle :
y″−2y′+y=0(2)
b) Résoudre l'équation différentielle (2).
c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (1).
d) Trouver la solution de (1) vérifiant les conditions h(0)=e et h′(0)=−2e
B. Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, →I, →J) (unité : 1cm).
Soit f la fonction définie sur R par :f(x)=(x2−2x+1)ex+1 et (C) sa courbe représentative dans le repère (O, →I, →J).
1. Calculer la dérivée f′ de f et dresser le tableau de variation de f.
2. Tracer la courbe (C) dans le repère orthonormé (O, →I, →J)
3. Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction F définie sur R par : F(x)=(ax2+bx+c)ex+1, soit une primitive de f.
4. Soit λ un réel strictement négatif.
a) Calculer l'aire A(λ) de la partie du plan comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=λ et x=0.
b) Calculer la limite de A(λ) quand λ tend vers −∞.
C. Soit g la restriction de f à l'intervalle [1, +∞[.
a) Montrer que g est une bijection de l'intervalle [1, +∞[ sur un intervalle J que l'on précisera.
b) Tracer la courbe représentative (Γ) de la réciproque de g dans le même repère que (C).
5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation ∶ f(x)=mx, où m est un paramètre réel non nul.
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