ENSAE (ISE - Option Mathématiques) - Epreuve de Mathématiques II - 2019

 

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x^{2}}$$

1) Étudier la convexité de $f.$

 

2) Étudier les variations de $f$ et tracer son graphe.

 

3) Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$h(x)=\mathrm{e}^{-x}f(x)$$

Calculer

$$I=\int_{0}^{1}h(x)h(-x)\mathrm{d}x$$

Soit la fonction numérique $f_{\alpha}$ définie par

$$f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}+\ln(1+x^{2})$$

où $\alpha$ est un nombre réel quelconque et $\ln$ désigne le logarithme népérien.

 

1) Déterminer le domaine de définition de $f_{\alpha}$ selon les valeurs de $\alpha.$

 

2) Étudier les variations et tracer les graphes de $f_{1}\ $ et $\ f_{2}.$ Comparer ces deux graphes sur $\mathbb{R}^{+}.$

 

3) Étudier la suite $(u_{n})$ définie par :

$$u_{n+1}=f_{1}(u_{n})\quad\text{et}\quad u_{0}>0$$

4) Étudier la suite $(v_{n})$ définie par :

$$v_{n+1}=f_{2}(v_{n})\quad\text{et}\quad v_{0}>0$$

5) Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose :

$$I_{n}=\int_{1}^{n}f_{n}(x)\mathrm{d}x$$

$-\ $ Calculer $I_{2}$

 

$-\ $ Étudier la suite $(I_{n})$

Soit la matrice

$$M=\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\alpha\\ \beta&\alpha&\beta\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$

où $\alpha\ $ et $\ \beta$ sont des paramètres réels.

 

1) Étudier la diagonalisation de $M$ selon les valeurs de $\alpha\ $ et $\ \beta.$

 

2) On suppose $\alpha=1\ $ et $\ \beta=0$

 

Calculer, pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ M^{n}\ $ et $\ (M+I)^{n}$, où $I$ désigne la matrice unité d'ordre $3.$

 

3) On suppose $\alpha>0\;,\ \beta>0\;,\ \alpha+\beta=1\;,\ \alpha-\beta\neq 1$

 

Calculer $M^{n}$, pour tout $n\in\mathbb{N}.$

Soit la matrice

$$M=\begin{pmatrix} 1&0&1\\1&-1&0\\ 0&0&-1\\-2&1&0\end{pmatrix}$$

1) Calculer $V=\,^{t}M\,M$, où $\ ^{t}M$ désigne la transposée de la matrice $M.$

 

2) Déterminer les valeurs propres de la matrice $V.$

 

3) Trouver un vecteur unitaire $u$ de $\mathbb{R}^{3}$ tel que $Vu=2u.$

 

4) Déterminer la matrice (dans la base canonique) de la projection orthogonale, dans $\mathbb{R}^{3}$, sur la droite vectorielle D engendrée par $u.$

 

5) Si chaque ligne de la matrice $M$ correspond à une observation, quelle est l'observation dont la projection orthogonale sur $D$ a la plus grande longueur ?

 

6) Déterminer les vecteurs propres de la matrice $V.$

 

7) Résoudre $\text{Max}\{^{t}v\,V\,v\ /\ v\in\mathbb{R}^{3}\;,\ \|v\|=1\}.$

Pour $x\in\mathbb{R}$, on considère l'intégrale généralisée :

$$K(x)=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin^{2}(tx)}{t^{2}}\mathrm{d}t$$

1) Montrer que $K\ :\ x\longmapsto K(x)$ définit une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et étudier sa parité.

 

2) Pour $x>0$, calculer $K(x)$ en fonction de $K(1)$ que l'on ne cherchera pas à calculer et en déduire l'expression de $K(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}.$

 

3) Soit

$$F(x)=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin^{2}(tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\mathrm{d}t$$

$-\ $ Montrer que $F$ est bien définie sur $\mathbb{R}.$

 

$-\ $ Trouver un équivalent de $F(x)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ (on pourra comparer $F\ $ et $\ K).$

 

4) Soit

$$G(x)=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(2tx)}{t(1+t^{2})}\mathrm{d}t$$

$-\ $ Montrer que $G$ est convergente.

 

$-\ $ Pour $x\,,\,h\in\mathbb{R}$, monter l'inégalité suivante :

$$|\sin^{2}(t(x+h))-\sin^{2}(tx)-th\sin(2tx)|\leq h^{2}t^{2}$$

$-\ $ Montrer que $F$ est dérivable et que sa dérivée est égale à $G.$

 

$-\ $ Montrer que $G$ est continue.

1) Soit

$$M\ :\ (a\;,\ b\;,\ c)\in\mathbb{C}^{3}\longmapsto M(a\;,\ b\;,\ c)=\begin{pmatrix} a&3c&3b\\b&a&3c\\c&b&a\end{pmatrix}$$

où $\mathbb{C}$ désigne l'ensemble des nombres complexes. Montrer que $M$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels entre $\mathbb{C}^{3}\ $ et $\ E=\{M(a\;,\ b\;,\ c)\ / (a\;,\ b\;,\ c)\in\mathbb{C}^{3}\}$ et déterminer une base de $E.$

 

2) Soit la matrice

$$U=\begin{pmatrix} 0&0&3\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$$

calculer $U^{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$

 

3) Calculer $M(a\;,\ b\;,\ c)\times M(a\;,\ \mathrm{j}b\;,\ \mathrm{j}^{2}c)\times M(a\;,\ \mathrm{j}^{2}b\;,\ \mathrm{j}c)$, où $\mathrm{j}$ désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}.$

 

4) Déterminer, quand il existe, l'inverse de $M(a\;,\ b\;,\ c).$

 

5) Déterminer les valeurs propres de $M(a\;,\ b\;,\ c).$ A quelle condition ces valeurs propres sont-elles distinctes ?

 

 

$$\text{Durée 4 heures}$$