Douane - Épreuve de Mathématiques - 2013
Exercice 1 (5 points)
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J) on donne les points
A(12) et B(−1−1)
f est l'application affine dont la représentation graphique est la droite (AB).
1) Détermine l'expression littérale de cette application affine. (1.5pts)
2) Calcule f(0) et f(−2)(2pts)
3) On considère l'inéquation à deux inconnues :
2x−y+1>0
Indique parmi les couples suivants :
(0; 0), (−32; 1), (−0.2; −1), (√3; −1) et (1; 1)
ceux qui sont solutions de cette inéquation. (1.5pts)
Exercice 2 (4 points)
On donne les réels suivants :
a=√3−2 et b=3√3−5 et E=√52−30√37−4√3
1) Détermine le signe de a et celui de b(2pts)
2) Calcule a2 et b2(1pt)
3) Démontre que E=√3−1(1pt)
Exercice 3 (6 points)
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J) on donne les points :
A(50), B(62) et C(24)
1) Justifie que le triangle ABC est rectangle en B.(1pt)
2) Construis le point D tel que →BD=→AB puis calcule ses coordonnées.(1.5pts)
3) Construis le point E, symétrique de C par rapport à B puis calcule ses coordonnées.(1.5pts)
4) Quelle est la nature du quadrilatère ACDE ?(1.5pts)
5) Soit F(124), justifie que F est l'image de E par la translation de vecteur →AD(0.5pt)
Exercice 4 (5 points)
Le schéma ci-dessous représente un cône de révolution de sommet S et dont la base est un disque de centre O et de rayon OA=3cm.
1) Sachant que l'angle ^OSA=30∘, calcule la génératrice SA de ce cône et montre que SO=3√3(2pts)
2) Montre que le volume de ce cône de révolution est 9π√3cm3(1.5pts)
3) On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base de telle sorte que la base du cône réduit qui en résulte ait une aire de 9π4cm2.
Calcule le coefficient de réduction k.(1.5pts)
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Durée 2 heures
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