ENSA - Épreuve de Mathématiques - 2019

 

1) Soit $f$ la fonction définie par :

$$f(x)=\ln\left|\tan\dfrac{x}{2}\right|$$

Déterminez l'ensemble de définition de $f.$

 

Déterminez sa fonction dérivée.

 

2) A l'aide d'une intégration par parties, déterminez la valeur exacte du réel :

$$I=\int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{3}}\dfrac{\mathrm{d}t}{\cos^{2}t.\sin t}$$

On considère dans le plan complexe les points $A$ d'affixe $1\;;\ M$ d'affixe $z$ et $N$ d'affixe $\mathrm{i}z-(1+\mathrm{i}).$ On note $T_{\lambda}$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ barycentre des points pondérés $\{(M\;;\ \lambda)\;;\ (N\;;\ -\lambda)\;;\ (A\;;\ 1)\}$ où $\lambda$ est un réel non nul.

 

1) Démontrer que, pour tout point $M$ du plan, le point $N$ est l'image de $M$ par une rotation dont on précisera le centre et l'angle.

 

2) a) Démontrer que l'affixe $z'$ de $M'$ est telle que :

$$z'=\lambda(1-\mathrm{i})z+\lambda(1+\mathrm{i})+1$$

b) Démontrer que $T$ est une similitude directe dont on précisera l'affixe du centre, le rapport et l'angle.

 

Pour quelles valeurs de $\lambda\;,\ T_{\lambda}$ est-elle une rotation ?

 

Donner, dans chaque cas, son angle et l'affixe de son centre.

 

c) Exprimer les coordonnées $(x'\;;\ y')$ de $M'$ en fonction des coordonnées $(x\;;\ y)$ de $M.$

 

3) Le nombre réel $\lambda$ étant strictement positif, on lui associe le point $P$ de coordonnées $(-\ln\lambda\;;\ \ln\lambda)$

 

Soit $P'$ le point tel que : $P'=T_{\lambda}(P)$

 

a) Déterminer les coordonnées de $P'$ en fonction de $\lambda.$

 

b) Démontrer que, lorsque $\lambda$ décrit $\mathbb{R}_{+}^{*}$, l'ensemble des points $P'$ est la courbe $(\mathcal{C})$ d'équation :

$$y=2(x-1)\ln(x-1)+(x-1)$$

Partie A (2 points)

 

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\;;\ +\infty[$ par :

$$f(x)=\dfrac{x\ln x}{x+1}\ \text{ et }\ f(0)=0$$

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $0$ En donner une interprétation graphique.

 

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty.$

 

2) Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0\;;\ +\infty[$ par :

$$\varphi(x)=\ln x+x+1$$

Étudier les variations de $\varphi.$ Établir que l'équation $\varphi(x)=0$ admet une solution $\beta$ et une seule et que $0.27\leq\beta\leq 0.28$ (on ne demande pas de construire la courbe de $\varphi).$

 

3) Pour $x>0$, exprimer $f'(x)$ en fonction de $\varphi(x).$ En déduire le tableau de variations de $f.$

 

4) Déterminer la limite en $+\infty$ de $[\ln x-f(x)].$ Qu'en déduire ?

 

5) Construire les courbes représentatives $C$ de $f$ et $\Gamma$ de $x\mapsto\ln x$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $4\,cm)$

 

Partie B (3 points)

 

On se propose d'étudier l'équation $f(x)=1.$ A cet effet, on introduit la fonction $g$ définie par :

$$g(x)=\mathrm{e}.\mathrm{e}^{\tfrac{1}{x}}$$

1) Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une solution $\alpha$ et une seule et que : $3.5\leq\alpha\leq 3.7$

 

Placer le point de $C$ d'abscisse $\alpha.$

 

2) a) Prouver que l'équation $f(x)=1$ équivaut à l'équation $g(x)=x.$

 

b) Étudier la monotonie de $g.$

 

c) Prouver que, pour tout élément $x$ de $[3.5\;;\ 3.7]\;,\ g(x)$ appartient aussi à $[3.5\;;\ 3.7].$

 

d) Établir que, pour tout élément $x$ de $[3.5\;;\ 3.7]\;,$

$$|g'(x)|\leq|g'(3.5)|\leq\dfrac{1}{3}$$

En déduire que

$$|g(x)-\alpha|\leq\dfrac{1}{3}|x-\alpha|$$

3) Soit $(u_{n})$ la suite d'éléments de $[3.5\;;\ 3.7]$ définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=g(u_{n})$ et la condition initiale : $u_{0}=3.5$

 

a) Montrer que, pour tout entier $n\geq 0\;,$

$$|u_{n}-\alpha|\leq\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{3^{n}}$$

En déduire la limite de $(u_{n}).$

 

b) Préciser un entier $n_{0}$ tel que $|u_{n_{0}}-\alpha|\leq 10^{-3}$ et donner la valeur de $u_{n_{0}}.$

 

En déduire une valeur décimale approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

 

Partie C (5 points)

 

On se propose d'étudier l'équation $f(x)=n$, où $n\in\mathbb{N}^{*}.$

 

1) Montrer que, pour tout $n$, cette équation admet une solution $\alpha_{n}$ et une seule (en particulier $\alpha_{1}=\alpha).$

 

2) Comparaison de $\alpha_{n}$ à $\mathrm{e}^{n}$

 

a) Établir que $f(\mathrm{e}^{n})\leq n.$ En déduire que : $\alpha_{n}\geq\mathrm{e}^{n}.$

 

b) Prouver que la relation $f(\alpha_{n})=n$ peut s'écrire sous la forme :

$$\ln\left(\dfrac{\alpha_{n}}{\mathrm{e}^{n}}\right)=\dfrac{n}{\alpha_{n}}\qquad(1)$$

c) En déduire, à l'aide de 1), la limite de $\dfrac{\alpha_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

 

3) Comparaison de $\alpha_{n}$ à $\mathrm{e}^{n}+n$

 

On écrit $\alpha_{n}$ sous la forme :

$$\alpha_{n}=\mathrm{e}^{n}(1+\varepsilon_{n})\;,\ \text{ où }\ \varepsilon_{n}\geq 0\qquad(2)$$

1) A l'aide de $(1)$ , exprimer $(1+\varepsilon_{n})\ln(1+\varepsilon_{n})$ en fonction de $n.$

 

2) Établir que pour $t\geq 0\ :$

$$0\leq(1+t)\ln(1+t)-t\leq\dfrac{t^{2}}{2}$$

3) Déduire de 1) et 2) que pour tout $n\geq 1\ ;$

$$\varepsilon_{n}\leq n\mathrm{e}^{-n}\leq\varepsilon_{n}+\dfrac{\varepsilon_{n}^{2}}{2}$$

puis que :

$$0\leq n\mathrm{e}^{-n}-\varepsilon_{n}\leq\dfrac{n^{2}}{2}\mathrm{e}^{-2n}\qquad(3)$$

4) A l'aide de $(2)\ $ et $\ (3)$, déterminer la limite de $\mathrm{e}^{n}+n-\alpha_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty.$

 

 

$$\text{Durée 2 heures}$$