EPT - Épreuve de Mathématiques - 2010
1) Laquelle des égalités suivantes est vraie ?
a) tan(α+β)=tanα−tanβ1+tanα b) tan(α+β)=tanα⋅tanβtanα+tanβ
c) tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ d) tan(α+β)=tanα−tanβtanα⋅tanβ
2) Donner un argument du nombre complexe : 12√4+3i
a) 12arctan(34) b) 112arctan(43)
c) 112arctan(34) d) arctan(34)
3) Calculer lim
a) 0\quad b) \dfrac{1}{2}\quad c) \dfrac{1}{4}\quad d) -\infty
4) Calculer \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}
a) 0\quad b) \dfrac{1}{2}\quad c) \dfrac{1}{4}\quad d) +\infty
5) Calculer \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{\sqrt[n]{\mathrm{e}}+\sqrt[n]{\mathrm{e}^{2}}+\ldots+\sqrt[n]{\mathrm{e}^{n}}}{n}
a) \mathrm{e}-1\quad b) \dfrac{1}{\mathrm{e}}\quad c) \mathrm{e}+1\quad d) 1
6) Évaluer l'intégrale
\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x\cos x}
a) \ln\left|\dfrac{x}{2}\right|+c\quad b) \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+c
c) \ln|\tan x|+c\quad d) \ln\left|\dfrac{x}{2}+\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+c
7) Évaluer l'intégrale
\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x}
a) \ln\left|\sin x\right|+c\quad b) \ln\left|\cos x\right|+c
c) \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+c\quad d) \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+c
8) L'équation \cos 2x+\sqrt{2}\sin 2x=-1 a pour solutions dans \mathbb{R}.
a) x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}
b) x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}
c) x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}
d) x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}
9) Si b>a, laquelle des inégalités est vraie :
a) b^{n}-a^{n}\geq nb^{n-1}(b-a)
b) b^{n}-a^{n}\leq nb^{n-1}(b-a)
c) b^{n}-a^{n}>nb^{n-1}(b-a)
d) b^{n}-a^{n}<nb^{n-1}(b-a)
10) \forall\;z\in\mathbb{Z}\;,\ \forall\;w\in\mathbb{C}, la somme S=z\bar{z}+w\bar{w}-w\bar{z}-z\bar{w} est :
a) un réel positif
b) un réel négatif
c) un imaginaire pur
d) un nombre complexe de la forme a+\mathrm{i}b
11) Donner l'image M' du point M\begin{pmatrix} 1\\0\\-1\end{pmatrix} par translation de vecteur \vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}
a) M'\begin{pmatrix} 3\\0\\3\end{pmatrix}\quad b) M'\begin{pmatrix} 0\\3\\3\end{pmatrix}
c) M'\begin{pmatrix} 1\\3\\1\end{pmatrix}\quad d) M'\begin{pmatrix} 3\\3\\0\end{pmatrix}
12) Donner l'image M' du point M\begin{pmatrix} 2\\1\\3\end{pmatrix} par l'homothétie de centre O et de rapport \dfrac{1}{2}
a) M'\begin{pmatrix} 1\\ \\ \dfrac{1}{2}\\ \\\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}\quad b) M'\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \\1\\ \\\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}
c) M'\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\ \\ \dfrac{1}{2}\\ \\1\end{pmatrix}\quad d) M'\begin{pmatrix} 1\\ \\ \dfrac{3}{2}\\ \\ \dfrac{1}{2}\end{pmatrix}
13) Au début d'une certaine année appelée 1^{\text{ere}} année, l'effectif de la population d'un pays est P_{1}. Chaque année, l'effectif s'accroit du \dfrac{1}{50} de sa valeur. L'effectif P_{n} de la population au début de la 4^{\text{e}} année est :
a) P_{n}=P_{1}+P_{1}\left(\dfrac{51}{50}\right)^{n}\quad b) P_{n}=P_{1}\times\left(\dfrac{51}{50}\right)^{n-1}
c) P_{n}=P_{1}\times\left(\dfrac{51}{50}\right)^{n}\quad d) P_{n}=P_{1}+P_{1}\left(\dfrac{51}{50}\right)^{n-1}
14) Donner le nombre de termes n et la raison q d'une progression géométrique sachant que le premier terme est 3, le dernier terme 192 et la somme des termes 381.
a) \left\lbrace\begin{array}{rcl} n&=&7\\q&=&3\end{array}\right.\quad b) \left\lbrace\begin{array}{rcl} n&=&6\\q&=&2\end{array}\right.
c) \left\lbrace\begin{array}{rcl} n&=&7\\q&=&2\end{array}\right.\quad d) \left\lbrace\begin{array}{rcl} n&=&8\\q&=&2\end{array}\right.
15) Donner la solution S de l'équation : 2(2x-1)<3\sqrt{(x+2)(3-x)}
a) S=]-2\;;\ +2]\quad b) S=\left[-2\;;\ \dfrac{1}{2}\right[
c) S=\left[\dfrac{1}{2}\;;\ 2\right[\quad d) S=[-2\;;\ +2[
16) Donner la valeur de \ell=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-1}{x}
a) \ell=2\quad b) \ell=1\quad c) \ell=\dfrac{1}{2}\quad d) \ell=\mathrm{e}
17) Donner la valeur de \ell=\lim\limits_{x\to 0}x^{2}\ln x
a) \ell=+\infty\quad b) \ell=-\infty\quad c) \ell=1\quad d) \ell=0
18) La dérivée en 0 de la fonction définie par :
f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl}\mathrm{e}^{-\tfrac{1}{x^{2}}} &\text{si}&x\neq 0\\0&\text{si}&x=0\end{array}\right. est :
a) f'(0)=\mathrm{e}\quad b) f'(0)=0\quad c) f'(0)=1\quad d) f'(0)=-1
19) La dérivée en 0 de la fonction définie par :
f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl} x^{2}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)&\text{si}&x\neq 0\\0&\text{si}&x=0\end{array}\right. est :
a) f'(0)=2\quad b) f'(0)=\dfrac{1}{2}\quad c) f'(0)=1\quad d) f'(0)=0
20) Soit (u_{n}) la suite définie par u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}}\ et \ u_{1}=1. Alors :
a) \lim\limits_{n\to +\infty}(u_{n})=\dfrac{1}{2}(1+\sqrt{5})\quad b) \lim\limits_{n\to +\infty}(u_{n})=\sqrt{5}
c) \lim\limits_{n\to +\infty}(u_{n})=1+\sqrt{5}\quad d) \lim\limits_{n\to +\infty}(u_{n})=\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\quad
\text{Durée 45 minutes}
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