Bac Maths D, Togo 2013

 

Soit $a$ un nombre complexe. 

 

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $$(1+\mathrm{i})z_{2}-2\mathrm{i}(a+1)z-(\mathrm{i}-1)(a^{2}+1)=0$$

 

2. Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de cette équation. 

 

Trouver entre $z_{1}$ et $z_{2}$ une relation indépendante de $a.$ 

 

3. Caractériser la transformation $f$ du plan complexe qui à tout point $M_{1}$ d'affixe $z_{1}$ associe le point $M_{2}$ d'affixe $z_{2}.$ 

 

4. On pose $z_{1}=x+\mathrm{i}y$  et  $z_{2}=x'+\mathrm{i}y'$ 

 

a) Exprimer $x'$  et  $y'$ en fonction de $x$ et $y.$ 

 

b) Quelles est l'image par $f$ de la droite $(D)$ d'équation : $x+2y-1=0.$ 

On considère les équations différentielles suivantes :  

$$(E)\ :\ y''(x)-2my'(x)+3y(x)=2(1-2x)\mathrm{e}^{x}$$

 

$$(E')\ :\ y''(x)-2my'(x)+3y(x)=0.$$  

 

Dans laquelle $m$ est un paramètre réel. 

 

1. Résoudre, suivant les valeurs de $m$, l'équation $(E').$ 

 

2. Déterminer la valeur de m pour laquelle, la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$h(x)=x^{2}\mathrm{e}^{x}$$ est une solution de $(E).$ 

 

3. Dans cette partie, on donne $m=2.$ 

 

a) Soit $\varphi$ une fonction au moins deux fois dérivable sur $\mathrm{R}.$ 

 

a. 1) Démontrer que si $\varphi$ est une solution de $(E)$ alors $(\varphi-h)$ est une solution de $(E').$ 

 

a. 2) Démontrer que si $(\varphi-h)$ est une solution de $(E')$ alors $\varphi$ est une solution de $(E).$            

 

b) Déduis de 1. 

 

La résolution de $(E')$ ; puis résoudre $(E).$            

 

c) Déterminer la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe représentative, dans le plan rapporté au repère orthonormé passe par le point $\Omega(0\ ;\ -1)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur $1.$       

                

4. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=(x^{2}-2)\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{3x}$$ et $U$ une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction : $$x\rightarrow 2(1-2x)\mathrm{e}^{2x}.$$  

 

a) Sachant que $g$ est une solution de $(E)$, démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$G(x)=\dfrac{1}{3}[U(x)-g'(x)+4g(x)]$$ est une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}.$ 

            

b) Déterminer une expression de $U(x)$ de la forme : $$U(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{x}$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles.  

 

c) En déduire $G(x).$ 

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ par : 

$$f(x)=\dfrac{e^{x}−1}{x\mathrm{e}^{x}+1}.$$

 

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;, \vec{J}\right).$ 

 

L'unité graphique est $2\,cm.$ 

 

A. Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $J=[0\ ;\ +\infty[$ par : $$g(x)=x+2-\mathrm{e}^{x}.$$  

 

1. Étudier le sens de variation de $g$ sur $J$ et déterminer la limite de $g$ en $+\infty.$ 

 

2. a) Démontrer que l'équation : $g(x)=0$ admet une et unique solution dans $J.$ 

 

On note $\alpha$ cette solution. 

 

b) Prouver que $1.14<\alpha<1.15.$ 

 

3. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x.$

 

B.  

 

1. a) Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $J$, $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}g(x)}{(x\mathrm{e}^{x}+1)^{2}}.$

 

b) En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $J.$  

 

2. a) Démontrer que, pour tout réel positif $x$, $f(x)=\dfrac{1-\mathrm{e}^{x}}{x+\mathrm{e}^{x}}$

          

b) En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ puis interpréter graphiquement le résultat trouvé.   

 

3. a) Établir que : $f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+1}.$             

             

b) En utilisant l'encadrement de $\alpha$ établi dans la question A. 2, donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $10^{-2}.$   

 

4. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0.$   

 

5. a) Établir que pour tout $x$ appartenant à $J$, $$f(x)-x=\dfrac{(x+1)\varphi(x)}{x\mathrm{e}^{x}+1}$$ avec $\varphi(x)=\mathrm{e}^{x}-x\mathrm{e}^{x}-1$            

 

b) Étudier le sens de variation de $\varphi$ sur $J.$                   

 

En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $J$.                

              

c) Déduire des questions précédentes la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(T).$ 

 

d) Tracer $(\mathcal{C})$ et $(D).$ 

 

C. 

 

1. Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $J$, on pourra utiliser l'expression de $f(x)$ établi en $B.$ 

 

5. a. On note $D$ le domaine du plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, la tangente $(T)$, les droites d'équations $x=0$ et $x=1.$ 

 

2. Calculer en $cm^{2}$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}.$

 

3. Pour tout entier naturel $k$, on pose $$V_{K}=\int^{x+1}_{K}f(x)\mathrm{d}x.$$  

 

a) Calculer $V_{0}$, $V_{1}$ et $V_{2}.$ 

 

b) Démontrer que pour tout entier naturel $k\geq 2$, $f(k+1)\leq V_{K}\leq f(k).$ 

 

c) Déduire la imite de $V_{K}$ quand $k$ tend vers $+\infty.$