Bac Maths D, Togo 2012

 

Le tableau suivant donne l'évolution du prix en dollar de la tonne d'une terre  rare entrant dans la fabrication d'un composant électronique ces dix dernières années. 

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Année}&2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011\\ \hline \text{Numéro de}&&&&&&&&&&\\ \text{l'année }\left(x_{i}\right)&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline \text{Prix de}&&&&&&&&&&\\ \text{la tonne en dollar }\left(y_{i}\right)&38&45&40&55&70&60&75&80&95&106\\ \hline  \end{array}$$

 

1. a) Représenter le nuage de points associés à la série statistiques $\left(x_{i}\ ;\ y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthonormé d'unité : $1\,cm$ pour une année en abscisse et $1\,cm$ pour dix dollars en ordonnée. 

 

b) Calculer les coordonnées du point $G.$ 

 

2. a) Calculer à $10^{-2}$ près par excès, le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}\ ;\ y_{i}\right).$ 

 

En déduire un ajustement affine justifié. 

 

b) Déterminer par la méthode des moindres carrés l'équation de la droite de régression linéaire $(D)$ de $y$ en $x$. 

 

$($on donnera les coefficients à $10^{-2}$ près par excès$).$ 

 

c) Tracer la droite $(D)$ dans le même repère que celui du nuage des points. 

 

3. En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon dans les années à venir :

 

a) Donner une estimation du prix de la tonne de cette terre rare en $2016.$

 

b) En quelle année le prix de la tonne de cette terre rare dépassera $1806$ ?  

On considère l'équation $$(E)\ :\ z\in\mathbb{C}\;,\ Z^{3}-(4+\mathrm{i})Z^{2}+(13+4\mathrm{i})z-13\mathrm{i}=0.$$

 

1. a) Vérifier que $\mathrm{i}$ est solution de $(E).$ 

 

b) Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que : 

 

$\forall\,z\in\mathcal{C}\;,\ Z^{3}-(4+\mathrm{i})Z^{2}+(13+4\mathrm{i})z-13\mathrm{i}=(z-\mathrm{i})(az^{2}+bz+c).$ 

 

c) En déduire les solutions de $(E).$ 

 

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right))$, on désigne par $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes $z_{A}=\mathrm{i}$ ; $z_{B}=2+3\mathrm{i}$ ; $z_{C}=2-3\mathrm{i}.$ 

 

a) Soit $r$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}.$ 

     

Déterminer l'affixe $z_{A'}$ du point $A'$ image de $A$ par $r.$ 

 

b) Calculer $\dfrac{z_{B}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}.$ 

 

En déduire l'existence d'une homothétie $h$ de centre $B$ qui  transforme $A'$ en $C$ et préciser son rapport.

  

3. On considère la transformation plane $s$ définie par $s=h\circ r.$ 

 

a) Quelle est l'image de $A$ par $s$ ?

 

b) Préciser la nature et les éléments géométriques de $s.$ 

Soit $k$ un entier naturel non nul. 

 

On considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f_{k}(x)=x^{k}\left(\mathrm{e}^{−x}-\dfrac{1}{2}\right).$$ 

 

On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de $f_{k}$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$ $($unité graphique : $4\,cm).$

1. a) Étudier la limite de $f_{k}$ en $+\infty.$ 

 

b) Étudier, suivant la parité de $k$, la limite de $f_{k}$ en $-\infty.$ 

 

2. Calculer la dérivée de $f_{k}$, puis prouver que pour tout $x$ réel, $f_{k'}=x^{k-1}g_{k}(x)$ où $$g_{k}(x)=(k-x)\mathrm{e}^{-x}-\dfrac{k}{2}.$$ 

 

3. a) Étudier les variation de $g_{k}.$ 

 

b) En déduire que l'équation $g_{k}(x)=0$, admet une unique solution $\alpha_{k}$ dans $\mathbb{R}$ et que $\alpha_{k}$ est strictement positif. 

 

c) Déterminer le signe de $g_{k}$ sur $\mathbb{R}.$ 

 

En déduire le signe de $f_{k'}$ sur $\mathbb{R}$ $($distinguer $k$ paire et impaire$).$

 

d) Dresser le tableau de variation de $f_{k}.$ 

Dans cette partie, on prend $k=1.$ 

 

Donc $f_{1}(x)=x\mathrm{e}^{−x}-\dfrac{x}{2}$ et $g_{1}(x)=(1-x)\mathrm{e}^{−x}-\dfrac{1}{2}.$

 

1. a) Démontrer que : $0<\alpha_{1}<\dfrac{1}{2}$

 

b) En utilisant $g_{1}$, prouver que : $$\mathrm{e}^{-\alpha}=\dfrac{1}{2}\left(1-\alpha_{1}\right)$$

 

En déduire l'expression de $f_{1}\left(\alpha_{1}\right)$ ne contenant pas $\mathrm{e}^{-\alpha}.$ 

 

c) Déduire de la partie A. 3

 

d. le tableau de variation de $f_{1}.$ 

 

2. Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ possède une asymptote $(D)$ en $+\infty$ dont on précisera une équation. 

 

3. Soit la fonction $\varphi$ définie sur $K=\left[0\ ;\ \dfrac{1}{2}\right]$ par $\varphi(x)=1-\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2}.$ 

 

a) Démontrer que $\alpha_{1}$ est l'unique solution de l'équation : $ \varphi(x)=x.$ 

 

b) Démontrer que pour tout $x$ élément de $K$, $\varphi(x)$ est aussi élément de $K.$ 

 

c) Démontrer que pour tout $x$ élément de $K$, on a : $|\varphi'(x)|\leq\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}.$ 

 

4. On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par : $U_{0}=0$ et pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=\varphi\left(U_{n}\right).$ 

 

a) Démontrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite d'élément de $K.$ 

 

b) Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $$\left|U_{n+1}-\alpha_{1}\right|\leq\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2}\left|U_{n}-\alpha_{1}\right|.$$ 

 

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$\left|U_{n}-\alpha_{1}\right|\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2} \right)^{n}.$$ 

 

En déduire que la suite $\left(U_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite. 

 

5. a) Étudier le signe de $f_{1}$ sur $\mathbb{R}.$ 

 

c) On donne $\alpha_{1}\approx 0.315.$ 

 

Construire $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $(D)$ dans le même repère.  

 

6. a) Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que, la fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction : $x\rightarrow\,x\mathrm{e}^{-x}.$ 

 

b) Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2.$