Bac Maths D, Togo 2012
Exercice 1
Le tableau suivant donne l'évolution du prix en dollar de la tonne d'une terre rare entrant dans la fabrication d'un composant électronique ces dix dernières années.
Année2002200320042005200620072008200920102011Numéro del'année (xi)12345678910Prix dela tonne en dollar (yi)384540557060758095106
1. a) Représenter le nuage de points associés à la série statistiques (xi ; yi) dans le plan muni d'un repère orthonormé d'unité : 1cm pour une année en abscisse et 1cm pour dix dollars en ordonnée.
b) Calculer les coordonnées du point G.
2. a) Calculer à 10−2 près par excès, le coefficient de corrélation linéaire de la série (xi ; yi).
En déduire un ajustement affine justifié.
b) Déterminer par la méthode des moindres carrés l'équation de la droite de régression linéaire (D) de y en x.
(on donnera les coefficients à 10−2 près par excès).
c) Tracer la droite (D) dans le même repère que celui du nuage des points.
3. En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon dans les années à venir :
a) Donner une estimation du prix de la tonne de cette terre rare en 2016.
b) En quelle année le prix de la tonne de cette terre rare dépassera 1806 ?
Exercice 2
On considère l'équation (E) : z∈C, Z3−(4+i)Z2+(13+4i)z−13i=0.
1. a) Vérifier que i est solution de (E).
b) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que :
∀z∈C, Z3−(4+i)Z2+(13+4i)z−13i=(z−i)(az2+bz+c).
c) En déduire les solutions de (E).
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; →u, →v)), on désigne par A, B et C les points d'affixes zA=i ; zB=2+3i ; zC=2−3i.
a) Soit r la rotation de centre B et d'angle π4.
Déterminer l'affixe zA′ du point A′ image de A par r.
b) Calculer zB−zCzB−zA.
En déduire l'existence d'une homothétie h de centre B qui transforme A′ en C et préciser son rapport.
3. On considère la transformation plane s définie par s=h∘r.
a) Quelle est l'image de A par s ?
b) Préciser la nature et les éléments géométriques de s.
Exercice 3 Problème
Soit k un entier naturel non nul.
On considère la fonction fk définie sur R par : fk(x)=xk(e−x−12).
On note Ck la courbe représentative de fk dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O ; →u, →v) (unité graphique : 4cm).
Partie A
1. a) Étudier la limite de fk en +∞.
b) Étudier, suivant la parité de k, la limite de fk en −∞.
2. Calculer la dérivée de fk, puis prouver que pour tout x réel, fk′=xk−1gk(x) où gk(x)=(k−x)e−x−k2.
3. a) Étudier les variation de gk.
b) En déduire que l'équation gk(x)=0, admet une unique solution αk dans R et que αk est strictement positif.
c) Déterminer le signe de gk sur R.
En déduire le signe de fk′ sur R (distinguer k paire et impaire).
d) Dresser le tableau de variation de fk.
Partie B
Dans cette partie, on prend k=1.
Donc f1(x)=xe−x−x2 et g1(x)=(1−x)e−x−12.
1. a) Démontrer que : 0<α1<12
b) En utilisant g1, prouver que : e−α=12(1−α1)
En déduire l'expression de f1(α1) ne contenant pas e−α.
c) Déduire de la partie A. 3
d. le tableau de variation de f1.
2. Démontrer que la courbe (C1) possède une asymptote (D) en +∞ dont on précisera une équation.
3. Soit la fonction φ définie sur K=[0 ; 12] par φ(x)=1−ex2.
a) Démontrer que α1 est l'unique solution de l'équation : φ(x)=x.
b) Démontrer que pour tout x élément de K, φ(x) est aussi élément de K.
c) Démontrer que pour tout x élément de K, on a : |φ′(x)|≤√e2.
4. On définit la suite (Un) par : U0=0 et pour tout entier naturel n, Un+1=φ(Un).
a) Démontrer que (Un) est une suite d'élément de K.
b) Montrer que pour tout entier naturel n, on a : |Un+1−α1|≤√e2|Un−α1|.
c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : |Un−α1|≤12(√e2)n.
En déduire que la suite (Un) est convergente et préciser sa limite.
5. a) Étudier le signe de f1 sur R.
c) On donne α1≈0.315.
Construire (C1) et (D) dans le même repère.
6. a) Déterminer les nombres réels a et b tels que, la fonction H définie sur R par H(x)=(ax+b)e−x soit une primitive de la fonction : x→xe−x.
b) Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe (C1), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=2.
Commentaires
Germinal (non vérifié)
jeu, 02/08/2024 - 18:38
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