Bac Maths D, Togo 2011

 

Une entreprise fabrique des appareils électroniques. 

 

La probabilité pour qu'un appareil fabriqué fonctionne parfaitement est $\dfrac{9}{10}.$ 

 

1. On note $F$ l'événement « l'appareil fonctionne parfaitement » et $\overrightarrow{F}$ l'événement contraire de $F.$ 

 

Calculer la probabilité de l'événement $\overrightarrow{F}.$

 

2. On fait subir à chaque appareil un test avant sa livraison ; on constate que :  

 

$\bullet\ $ Quand un appareil est en partait état de fonctionnement, il est toujours accepté à l'issu du test.  

 

$\bullet\ $ Quand un appareil ne fonctionne pas parfaitement, il est néanmoins accepté avec une probabilité de $\dfrac{1}{11}.$ 

 

On note $T$ l'événement « l'appareil est accepté à l'issu du test » 

 

a) montrer que la probabilité de l'événement $T$ et $F$ noté $T\cap F$ est égale à $\dfrac{9}{10}.$ 

 

b) Calculer la probabilité de  $T\cap\vec F.$

 

c) En déduire la probabilité de l'événement $T.$ 

 

d) Calculer la probabilité de $F$ sachant $T$ $($probabilité conditionnelle de $F$ par rapport à $T).$ 

Soit $\mathcal{p}(z)=z^{3}+\alpha z^{2}+\beta z+\gamma$ un polynôme complexe de degré $3$ de coefficient complexe $\alpha$, $\beta$ et $\gamma.$ 

 

1. a) Démontrer que si le polynôme $\mathcal{p}(z)$ admet trois racines $a$, $b$ et $c$ alors on a simultanément :$$a+b+c=-\alpha\ ;\ ab+bc+ac=\beta\quad\text{et}\quad abc=-\gamma.$$ 

 

b) Former alors le polynôme $\mathcal{p}(z)$ lorsque ses racines sont : $$a=1+3\mathrm{i}\sqrt{3}\ ;\ b=-2+\mathrm{i}\sqrt{3}\ ;\ c=4-2\mathrm{i}\sqrt{3}.$$ 

 

2. On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ dans le plan complexe muni du repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \vec{\mathrm{e_{2}}}\right).$ 

 

a) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B.$ 

 

b) Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe $\dfrac{c-a}{b-a}$

 

c) En déduire la valeur de $\dfrac{AC}{AB}$ et la mesure principale de l'angle orienté $\left(\widehat{\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC}}\right).$ 

 

3. a) Donner l'écriture complexe de la similitude direct $s$ de centre $A$ qui transforme $B$ en $C.$

 

b) Déterminer l'affixe  $z_{1} $ du point $B_{1}$ qui a pour image $B$ par $s.$ 

Soit $g$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par :$$g(x)=-x^{2}+6 4\ln x.$$ 

 

1. Étudier les variations de $g.$ 

 

2. Calculer les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$ puis dresser le tableau de variation de $g.$ 

 

3. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$ et que $1.86\leq\infty\leq 1.87.$ 

 

4. Donner alors le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$ appartenant à $]0\ ;\ \infty[$ et $]\infty\ ;\ +\infty[.$ 

 

$($La représentation graphique de $g$ n'est pas demandée$).$ 

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par $$f(x)=-\dfrac{1}{2}x+3+\dfrac{2\ln x−1}{x}.$ 

 

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{I}\ ;\ \vec{J}\right).$ 

 

Unité graphique $2\,cm.$ 

 

1. a) Calculer $f'(x)$ pour $x$ élément de $]0\ ;\ +\infty[$ et exprimer $f'(x)$ en fonction de $g(x)$ où $g$ est la fonction définie dans la partie A. b. 

 

b) Déterminer le sens de variation de $f.$ 

 

c) Calculer la limite de $f$ en $0$ puis en $+\infty.$      

 

2. a) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=-\dfrac{1}{2}x+3$ est asymptote à $(\mathcal{C}).$             

 

b) Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(D).$     

 

3. a) Montrer que $\ln(\alpha)=\dfrac{6-\alpha^{2}}{4}$ et que $f(\alpha)=-\alpha+3+\dfrac{2}{\alpha}$ où $\infty$ est le nombre réel défini à la question $3$ de la partie A.             

 

b) soit $h$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par :  $$h(x)=-x+3+\dfrac{2}{x}.$$                

 

b.1. Étudier le sens de variation de $h.$    

            

b.2. En déduire un encadrement de $f\left(\infty\right).$ 

 

On rappelle que $1.86\leq\infty\leq 1.87.$     

 

4. a) Dresser le tableau de variation de $f.$            

 

b) Calculer $f\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$ et $f(1).$ 

 

Que peut–on conclure pour la courbe $(\mathcal{C})$ ?            

 

c) Construire $(D)$, $(\mathcal{C})$ puis placer le point $A.$  

Soit $k$ la fonction définie par $$k(x)=f(x)-\left(-\dfrac{1}{2}x+3\right).$$ 

 

1. En remarquant que $k(x)=2\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{1}{x}.$$ 

 

Calculer l'intégrale $$I_{0}=\int^{\mathrm{e}}_{\sqrt{\mathrm{e}}}k(x)\mathrm{d}x.$$ 

 

2. Donner une interprétation géométrique de $I_{0}.$ 

 

3. On considère la suite numérique $\left(a_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $a_{n}=\mathrm{e}^{\left(\dfrac{n+1}{2}\right)}.$

 

a) Calculer en fonction de $n$ l'intégrale $$I_{n}=\int^{a_{n+1}}_{a_{n}} k(x)\mathrm{d}x.$$

 

b) Montrer que $\left(I_{n}\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison.