Bac Maths D, Togo 2011
Exercice 1
Une entreprise fabrique des appareils électroniques.
La probabilité pour qu'un appareil fabriqué fonctionne parfaitement est 910.
1. On note F l'événement « l'appareil fonctionne parfaitement » et →F l'événement contraire de F.
Calculer la probabilité de l'événement →F.
2. On fait subir à chaque appareil un test avant sa livraison ; on constate que :
∙ Quand un appareil est en partait état de fonctionnement, il est toujours accepté à l'issu du test.
∙ Quand un appareil ne fonctionne pas parfaitement, il est néanmoins accepté avec une probabilité de 111.
On note T l'événement « l'appareil est accepté à l'issu du test »
a) montrer que la probabilité de l'événement T et F noté T∩F est égale à 910.
b) Calculer la probabilité de T∩→F.
c) En déduire la probabilité de l'événement T.
d) Calculer la probabilité de F sachant T (probabilité conditionnelle de F par rapport à T).
Exercice 2
Soit p(z)=z3+αz2+βz+γ un polynôme complexe de degré 3 de coefficient complexe α, β et γ.
1. a) Démontrer que si le polynôme p(z) admet trois racines a, b et c alors on a simultanément :a+b+c=−α ; ab+bc+ac=βetabc=−γ.
b) Former alors le polynôme p(z) lorsque ses racines sont : a=1+3i√3 ; b=−2+i√3 ; c=4−2i√3.
2. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a, b et c dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O ; →e1, →e2).
a) Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
b) Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe c−ab−a
c) En déduire la valeur de ACAB et la mesure principale de l'angle orienté (^→AB ; →AC).
3. a) Donner l'écriture complexe de la similitude direct s de centre A qui transforme B en C.
b) Déterminer l'affixe z1 du point B1 qui a pour image B par s.
Exercice 3 Problème
Partie A
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :g(x)=−x2+64lnx.
1. Étudier les variations de g.
2. Calculer les limites de g en 0 et en +∞ puis dresser le tableau de variation de g.
3. Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution α dans l'intervalle ]0 ; +∞[ et que 1.86≤∞≤1.87.
4. Donner alors le signe de g(x) suivant les valeurs de x appartenant à ]0 ; ∞[ et ]∞ ; +∞[.
(La représentation graphique de g n'est pas demandée).
Partie B
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par $$f(x)=-\dfrac{1}{2}x+3+\dfrac{2\ln x−1}{x}.$
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé (O ; →I ; →J).
Unité graphique 2cm.
1. a) Calculer f′(x) pour x élément de ]0 ; +∞[ et exprimer f′(x) en fonction de g(x) où g est la fonction définie dans la partie A. b.
b) Déterminer le sens de variation de f.
c) Calculer la limite de f en 0 puis en +∞.
2. a) Montrer que la droite (D) d'équation y=−12x+3 est asymptote à (C).
b) Étudier la position relative de (C) par rapport à (D).
3. a) Montrer que ln(α)=6−α24 et que f(α)=−α+3+2α où ∞ est le nombre réel défini à la question 3 de la partie A.
b) soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : h(x)=−x+3+2x.
b.1. Étudier le sens de variation de h.
b.2. En déduire un encadrement de f(∞).
On rappelle que 1.86≤∞≤1.87.
4. a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Calculer f(1e) et f(1).
Que peut–on conclure pour la courbe (C) ?
c) Construire (D), (C) puis placer le point A.
Partie C
Soit k la fonction définie par k(x)=f(x)−(−12x+3).
1. En remarquant que k(x)=2lnxx−1x.$
Calculer l'intégrale I0=∫e√ek(x)dx.
2. Donner une interprétation géométrique de I0.
3. On considère la suite numérique (an) définie sur N par an=e(n+12).
a) Calculer en fonction de n l'intégrale In=∫an+1ank(x)dx.
b) Montrer que (In) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
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