BAC S SPECIALITE Métropole juin 2004

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 Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$ et pour tout entier
naturel $x$ :

$$(x-1)\left(1 +x + x^2 + \cdots + x^{k-1}\right) = x^k - 1.$$

Dans toute la suite de l'exercice, on considère un nombre entier $a$ supérieur
ou égal à 2.

 
    
         Soit $n$ un entier naturel non nul et $d$ un diviseur positif
de $n~:~n = dk$.

Montrer que $a^d- 1$ est un diviseur de $a^n - 1$.

         Déduire de la question précédente que $2^{2004} - 1$ est divisible par 7, par 63 puis par 9.
 
 

 Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls et $d$ leur pgcd.

    
         On définit $m'$ et $n'$ par $m = dm'$ et $n = dn'$. En appliquant le théorème  de Bezout à $m'$ et $n'$, montrer qu'il existe des entiers relatifs $u$
 et $v$ tels que : $mu - nv = d$.

         On suppose $u$ et $v$ strictement positifs.

Montrer que : $\left(a^m - 1 \right) - \left(a^{nv} - 1 \right) a^d =   a^d - 1$.

Montrer ensuite que $a^d - 1$ est le pgcd de $a^{mu} - 1$ et de $a^{nv} - 1$.

         Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de $2^{63} - 1$
et de $2^{60} - 1$.