Bac Maths D, Mali 2019

1. Pour tout nombre complexe $z$, on pose : $$p(z)=z^{3}-3z^{2}+3z+7.$$

a) Calculer $P(-1)$

b) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, on ait : $$p(z)=(z+1)(z^{2}+az+b).$$

c) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0.$

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

Unité graphique : $2\,cm.$

On désigne par $A$, $B$, $C$ et $G$ les points du plan d'affixes respectives :  

$a=-1$ ; $b=2+\mathrm{i}\sqrt{3}$ ; $c=2-\mathrm{i}\sqrt{3}$ ; $g=3.$

a) Réalise une figure et placer les points $A$, $B$, et $G.$

b) Calculer les distances $AB$, $BC$ et $AC.$

En déduire la nature du triangle $ABC.$
 
c) Calculer un argument du nombre complexe $\dfrac{a-c}{g-c}.$

En déduire la nature du triangle $GAC.$

1. Soit les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}\quad\text{et}\quad g(x)=\dfrac{x^{3}}{1+x^{2}}$$

a) Calculer $$I_{1}=\int^{1}_{0}f(x)\mathrm{d}x$$  

b) Soit : $$I_{2}=\int^{1}_{0}f(x)\mathrm{d}x.$$

Calculer $I_{1}+I_{2}$ et en déduire la valeur de $I_{2}.$

2. a) Déterminer trois réels $a$, $b$, $c$ tels que pour tout $u$ différent de $\dfrac{1}{2}.$
$$\dfrac{u^{2}-1}{2u-1}=au+b+\dfrac{c}{2u-1}$$

c) Calculer $$\int^{-1}_{0}\dfrac{x^{2}}{2x-1}$$

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}+1}$, et on note $\mathfrak{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $($unité : $1\,cm).$

1. On pose $g(x)=x^{3}+3x+8$

a) Étudier le sens de variation de $g$, montrer que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $0.1.$

b) Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x.$

2. a) Calculer $f'(x)$ et étudier le sens de variation de $f.$

b) Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis dresser le tableau de variation de $f.$

3. a) Montrer qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^{2}+1}$

b) En déduire que $\mathfrak{C}$ admet une asymptote oblique $\Delta$ et étudier la position de $\mathfrak{C}$ par rapport à $\Delta.$

Vérifier en particulier que $\mathcal{C}$ rencontre $\Delta$ en un point $A.$

4. Déterminer les abscisses des points $B$ et $B'$ de $\mathfrak{C}$ admettant une tangente parallèle à $\Delta.$

5. Vérifier que $f(\alpha)=\dfrac{2}{3}\alpha$ ; en déduire une valeur approchée de $f(\alpha).$

6. Construire la courbe $\mathfrak{C}.$