Bac Maths D, Mali 2016

Exercice 1

1. Résous dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation d'inconnue z : Z2+23Z+4=0, détermine le module et un argument de chaque solution.    

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0 ;u ; v)

On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d'affixe Z associe le point M d'affixe Z défini par Z=e2π3iZ.  

a) Détermine la nature de la transformation T et donne tous ses éléments caractéristiques.   

b) Soit A le point d'affixe ZA=3+1.

Détermine les affixes respectives ZB et ZC des points B et C tels que B=T(A) et C=T(B).

Construis les points A, B et C dans le plan muni du repère (0 ; u, v).

3. Calculer ZBZCZAZC puis en déduire la nature du triangle ABC.

Exercice 2

Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à l'instant t (exprimé en heures), peut être considéré comme une fonction g à valeurs réelles de la variable t.

La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée g de cette fonction.

On a constaté que g(t)=kg(t)k est un coefficient réel strictement positif.

On désigne par N le nombre de microbes à l'instant t=0.     

1. Détermine l'unique solution de l'équation différentielle g(t)=kg(t) telle que g(0)=N.

2. Sachant qu'au bout de 2 heures le nombre de microbes a quadruplé, Calcule en fonction de N le nombre de microbes au bout de 3 heures.    

3. Quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 9 600 microbes au bout de 5 heures.    

Exercice 3  

Soit la fonction numérique f à variable réelle x définie par x22x+2x1  

On désigne par (Cf) la représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (0 ; i, j).  

1. Montre que (Cf) admet deux asymptotes dont on Déterminera les équations.     

2. Précise la position de (Cf) par rapport à son asymptote oblique.      

3. Étudie les variations de f.

4. Existe-t-il des points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 34 ?   

Si oui trouve les équations de ces tangentes en ces points.    

5. Trace la courbe (Cf) et ses asymptotes dans le plan muni du repère orthonormé (0 ; i, j).   

6. Montre que la restriction g de f à l'intervalle I=]1 ; 2] est une bijection de I vers un intervalle J que l'on précisera.    

7. a) Calcule (g1)(52).       

b) Dresse le tableau de variation de g1 puis trace sa courbe représentative dans le même repère que celle de f.
 

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