Bac Maths D, Mali 2016
Exercice 1
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0 ;→u ; →v)
On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d'affixe Z associe le point M′ d'affixe Z′ défini par Z′=e2π3iZ.
a) Détermine la nature de la transformation T et donne tous ses éléments caractéristiques.
b) Soit A le point d'affixe ZA=−√3+1.
Détermine les affixes respectives ZB et ZC des points B et C tels que B=T(A) et C=T(B).
Construis les points A, B et C dans le plan muni du repère (0 ; →u, →v).
3. Calculer ZB−ZCZA−ZC puis en déduire la nature du triangle ABC.
Exercice 2
La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée g′ de cette fonction.
On a constaté que g′(t)=kg(t) où k est un coefficient réel strictement positif.
On désigne par N le nombre de microbes à l'instant t=0.
1. Détermine l'unique solution de l'équation différentielle g′(t)=kg(t) telle que g′(0)=N.
2. Sachant qu'au bout de 2 heures le nombre de microbes a quadruplé, Calcule en fonction de N le nombre de microbes au bout de 3 heures.
3. Quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 9 600 microbes au bout de 5 heures.
Exercice 3
On désigne par (Cf) la représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (0 ; →i, →j).
1. Montre que (Cf) admet deux asymptotes dont on Déterminera les équations.
2. Précise la position de (Cf) par rapport à son asymptote oblique.
3. Étudie les variations de f.
4. Existe-t-il des points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 34 ?
Si oui trouve les équations de ces tangentes en ces points.
5. Trace la courbe (Cf) et ses asymptotes dans le plan muni du repère orthonormé (0 ; →i, →j).
6. Montre que la restriction g de f à l'intervalle I=]1 ; 2] est une bijection de I vers un intervalle J que l'on précisera.
7. a) Calcule (g−1)′(52).
b) Dresse le tableau de variation de g−1 puis trace sa courbe représentative dans le même repère que celle de f.
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